Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial FS que pode ser aproximada pela seguinte função:
cc FS=(D45)^2 & , D <= 45 mu m FS=1 & , D>45 mu m
Converta essa distribuição FS e obtenha as expressões para:
a) uma distribuição cumulativa baseada em volume FV.
b) uma distribuição cumulativa baseada em número FN.
O número de partículas analisadas foi de 225. A área superficial total (de todas as partículas analisadas) foi de 493.152 mu m^2, e o volume total foi de 2.840.460 mu m^3, .
c) Determine os fatores de forma em volume ( alphaV ) e em área superficial ( alphaS ) relacionados ao tamanho característico escolhido D.
d) Você acha que as partículas analisadas podem ser consideradas esféricas? Se sim, quais os diâmetros equivalentes de área superficial e de volume delas? Se não, também justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição cumulativa “pesada” pela área superficial
FS(D)= l(tfracD45r)^2,&D<=45;mum, 1,&D>45;mum,
isto é, a fração da área total contida em partículas com diâmetro <= D. Queremos (a) a distribuição cumulativa “pesada” pelo volume
FV(D), (b) a distribuição cumulativa simples de número FN(D), (c) os fatores de forma alphaS e alphaV relativos a um diâmetro característico D, e (d) discutir a esfericidade e calcular os diâmetros equivalentes de área e de volume.

Passo 2

Para passar de FS a FV usamos que, se fS(D)=dFSdD é a densidade “por área”, então a densidade “por volume” é
fV(D)propto V(D),fN(D) e fS(D)propto S(D),fN(D),
mas fica mais simples notar que
FV(D) =integral0^DV(x),fN(x),dxintegral0^inftyV(x),fN(x),dx =integral0^Dx,fS(x),dxintegral0^45x,fS(x),dx,
pois fS(x)propto x^2fN(x) e V(x)propto x^3fN(x). Como
fS(x)=ddxl(tfracx45r)^2 =2x45^2, 0<= x<=45,
temos
integral0^Dx,fS(x),dx =integral0^D2x^245^2,dx =245^2cdotD^33 =2D^33cdot45^2,
e
integral0^45x,fS(x),dx =2cdot45^33cdot45^2 =2cdot453
Logo
FV(D) =2D^33cdot45^22cdot453 =D^345^3 =l(tfracD45r)^3, D<=45,
e FV(D)=1 para D>45.
Resposta (a):
FV(D)= l(tfracD45r)^3,&D<=45, 1,&D>45

Passo 3

Para a distribuição cumulativa de número FN(D) usaríamos
fN(D)proptofS(D)S(D) com S(D)propto D^2
Assim
fN(D)propto2D/45^2D^2 =245^2cdot1D,
o que faz
FN(D) =integralDmin^Dtfrac1x,dx integralDmin^45tfrac1x,dx =ln(D/Dmin)ln(45/Dmin),
once Dmin é um corte inferior real (caso contrário a integral integral0^D 1/x,dx diverge).
Resposta (b):
FN(D) =ln!l(D/Dminr)ln!l(45/Dminr), Dmin<= D<=45
Sem Dmin não há distribuição de número bem‐comportada porque pequenas partículas dominam em número.

Passo 4

Dados: N=225, área total Srm tot=493152;mum^2, volume total Vrm tot=2840460;mum^3.
Escolhendo como diâmetro característico a média ponderada pela área, nota-se que
E[D]!S=integral0^45D,fS(D),dD =integral0^45D2D45^2,dD =2cdot453=30;mum
Então definimos
alphaS =Srm tot/N(E[D]S)^2 =493152/22530^2 approx2,435,
alphaV =Vrm tot/N(E[D]S)^3 =2840460/22530^3 approx0,468
Resposta (c):
alphaSapprox2,435, alphaVapprox0,468

Passo 5

Se as partículas fossem perfeitamente esféricas, teríamos
alphaS^rm sph=piapprox3,1416 e alphaV^rm sph=pi/6approx0,5236.
Como os valores experimentais alphaS e alphaV são menores que os ideais de esfera, concluímos que elas não são perfeitamente esféricas.
Podemos ainda calcular o diâmetro equivalente de superfície e de volume (supondo esfera) a partir das médias por partícula:
S=493152225approx2191,8, V=2840460225approx12624,3
Como para uma esfera S=pi D^2 e V=tfracpi6D^3, definimos
Drm eq,S =raizSpi approxraiz2191,8pi approx26,4;mu m,
Drm eq,V =l(6,Vpir)^1/3 approxl(6cdot12624,3pir)^1/3 approx29,0;mu m
Como Drm eq,Sneq Drm eq,V, reforçamos que elas não podem ser tomadas como esferas perfeitas.

Resposta

(a) FV(D)=l(tfracD45r)^3 para D<=45, e 1 além.
(b) FN(D)=ln(D/Dmin)ln(45/Dmin), necessitando um corte Dmin>0.
(c) alphaSapprox2,435, alphaVapprox0,468
(d) Não são perfeitamente esféricas (valores de alpha diferentes de pi e pi/6). Diâmetros equivalentes:
,Drm eq,Sapprox26,4;mu m e Drm eq,Vapprox29,0;mu m.

Exercícios relacionados