Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial que pode ser aproximada pela seguinte função:
Converta essa distribuição e obtenha as expressões para:
a) uma distribuição cumulativa baseada em volume .
b) uma distribuição cumulativa baseada em número .
O número de partículas analisadas foi de 225. A área superficial total (de todas as partículas analisadas) foi de , e o volume total foi de 2.840.460 , .
c) Determine os fatores de forma em volume ( ) e em área superficial ( ) relacionados ao tamanho característico escolhido .
d) Você acha que as partículas analisadas podem ser consideradas esféricas? Se sim, quais os diâmetros equivalentes de área superficial e de volume delas? Se não, também justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição cumulativa “pesada” pela área superficial
isto é, a fração da área total contida em partículas com diâmetro <= D. Queremos (a) a distribuição cumulativa “pesada” pelo volume FV(D), (b) a distribuição cumulativa simples de número FN(D), (c) os fatores de forma alphaS e alphaV relativos a um diâmetro característico D, e (d) discutir a esfericidade e calcular os diâmetros equivalentes de área e de volume.
Passo 2
Para passar de FS a FV usamos que, se fS(D)=dFSdD é a densidade “por área”, então a densidade “por volume” é
once Dmin é um corte inferior real (caso contrário a integral integral0^D 1/x,dx diverge).
Resposta (b):
FN(D) =ln!l(D/Dminr)ln!l(45/Dminr), Dmin<= D<=45
Sem Dmin não há distribuição de número bem‐comportada porque pequenas partículas dominam em número.
Passo 4
Dados: N=225, área total Srm tot=493152;mum^2, volume total Vrm tot=2840460;mum^3.
Escolhendo como diâmetro característico a média ponderada pela área, nota-se que
Se as partículas fossem perfeitamente esféricas, teríamos alphaS^rm sph=piapprox3,1416 e alphaV^rm sph=pi/6approx0,5236.
Como os valores experimentais alphaS e alphaV são menores que os ideais de esfera, concluímos que elas não são perfeitamente esféricas.
Podemos ainda calcular o diâmetro equivalente de superfície e de volume (supondo esfera) a partir das médias por partícula:
Como para uma esfera S=pi D^2 e V=tfracpi6D^3, definimos
Drm eq,S =raizSpi approxraiz2191,8pi approx26,4;mu m,
Drm eq,V =l(6,Vpir)^1/3 approxl(6cdot12624,3pir)^1/3 approx29,0;mu m
Como Drm eq,Sneq Drm eq,V, reforçamos que elas não podem ser tomadas como esferas perfeitas.
Resposta
(a) FV(D)=l(tfracD45r)^3 para D<=45, e 1 além.
(b) FN(D)=ln(D/Dmin)ln(45/Dmin), necessitando um corte Dmin>0.
(c) alphaSapprox2,435, alphaVapprox0,468
(d) Não são perfeitamente esféricas (valores de alpha diferentes de pi e pi/6). Diâmetros equivalentes: ,Drm eq,Sapprox26,4;mu m e Drm eq,Vapprox29,0;mu m.