Calcular a esfericidade de:
Um grão de arroz (supor que o arroz é um esferóide prolato com eixos iguais a 8 mm e 3 mm ).

Passo 1

O enunciado pede a esfericidade de um grão de arroz, modelado como um esferoide prolato cujos eixos principais medem 8 mm (comprimento) e 3 mm (largura e espessura). A esfericidade Psi é definida como a razão entre a área de uma esfera de mesmo volume do grão e a área superficial do próprio grão. Para resolver vamos precisar de:
  1. Volume do esferoide prolato.
  2. Raio e área da esfera de mesmo volume.
  3. Área superficial do esferoide prolato usando sua excentricidade.

Passo 2

Calculamos o volume do esferoide prolato. Chamando de a o semi-eixo maior e de b o semi-eixo menor, temos
a = 82 = 4 mm, b = 32 = 1,5 mm
O volume é
V = 43,pi,a,b^2 = 43,pi,(4),(1,5)^2 = 12pi mm^3

Passo 3

Determinamos o raio Re da esfera de mesmo volume, usando
43,pi,Re^3 = V = 12pi Longrightarrow Re^3 = 9 Longrightarrow Re = raiz[3]9approx2,0801 mm
A área dessa esfera é
Aesfera = 4pi,Re^2 = 4pi,(2,0801)^2 approx 54,36 mm^2

Passo 4

Agora a área superficial do esferoide prolato. Primeiro a excentricidade
e = raiz1 - b^2a^2 = raiz1 - 1,5^24^2 approx0,9270
A fórmula da área de um esferoide prolato é
Aesferoide =2pi,b^2l[1 + ab,e,arcsin(e)r]
Substituindo,
Aesferoide =2pi,(1,5)^2l[1 + 41,5cdot0,9270,arcsin(0,9270)r] approx61,70 mm^2

Passo 5

Finalmente, a esfericidade é a razão entre as áreas:
Psi = AesferaAesferoide approx54,3661,70approx0,88

Resposta

A esfericidade do grão de arroz é aproximadamente 0,88.

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