Uma amostra com seis resistores resultou nas seguintes resistências (ohms):
x_{1}=45, x_{2}=38, x_{3}=47, x_{4}=41, x_{5}=35 \text { e } x_{6}=43 .
a) Calcule a variância e o desvio padrão da amostra. (Resposta: s^{2}=19,9 e s=4,4609 )
b) Subtraia 35 de cada uma das medidas originais de resistências e calcule a variância e o desvio padrão. Compare seus resultados com aqueles obtidos nos itens (a). (Resposta: s^{2}=19,9 e s=4,4609 )

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra com seis resistências (em ohms):
x_{1}=45,\; x_{2}=38,\; x_{3}=47,\; x_{4}=41,\; x_{5}=35,\; x_{6}=43.
O que pede:
  • (a) Calcular a variância e o desvio padrão da amostra.
  • (b) Subtrair 35 de cada medida, então calcular novamente a variância e o desvio padrão e comparar com (a).
Também anotei os dados para usar direto nas contas (isso evita erro por distração).

Passo 2

Vamos apresentar as fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa — com calma, passo a passo.
  • A média amostral é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações (aqui n=6), x_i são as observações e \bar{x} é a média (o valor central da amostra).
  • A variância amostral (estimator não enviesado) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}.
Aqui s^{2} é a variância da amostra, e \bigl(x_i-\bar{x}\bigr) é o desvio da i-ésima observação em relação à média. Dividimos por n-1 (e não por n) para obter um estimador não enviesado da variância da população (isso é a correção de Bessel).
  • O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo nos dados. Se ficar cansado, respira fundo — vamos devagar.

Passo 3

Calcular a média \bar{x}.
Somando os valores:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 45+38+47+41+35+43 = 249.
Como n=6, a média é
\bar{x}=\frac{249}{6}=41,5.
Então a média das resistências da amostra é \bar{x}=41,5 (ohms).

Passo 4

Calcular os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados (x_i-\bar{x})^{2}. Vou listar cada um e depois somar, para não perder passo.
  • Para x_{1}=45:
x_{1}-\bar{x}=45-41,5=3,5,\qquad (x_{1}-\bar{x})^{2}=3,5^{2}=12,25.
  • Para x_{2}=38:
x_{2}-\bar{x}=38-41,5=-3,5,\qquad (x_{2}-\bar{x})^{2}=(-3,5)^{2}=12,25.
  • Para x_{3}=47:
x_{3}-\bar{x}=47-41,5=5,5,\qquad (x_{3}-\bar{x})^{2}=5,5^{2}=30,25.
  • Para x_{4}=41:
x_{4}-\bar{x}=41-41,5=-0,5,\qquad (x_{4}-\bar{x})^{2}=(-0,5)^{2}=0,25.
  • Para x_{5}=35:
x_{5}-\bar{x}=35-41,5=-6,5,\qquad (x_{5}-\bar{x})^{2}=(-6,5)^{2}=42,25.
  • Para x_{6}=43:
x_{6}-\bar{x}=43-41,5=1,5,\qquad (x_{6}-\bar{x})^{2}=1,5^{2}=2,25.
Agora somo todos os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^{2}=12,25+12,25+30,25+0,25+42,25+2,25=99,5.

Passo 5

Calcular a variância amostral s^{2} e o desvio padrão s.
Usando a fórmula
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
com n=6 e \sum (x_i-\bar{x})^{2}=99,5, obtemos
s^{2}=\frac{99,5}{6-1}=\frac{99,5}{5}=19,9.
O desvio padrão é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{19,9}\approx 4,4609.
(Isto conclui o item (a).)

Passo 6

Agora (item b): subtrair 35 de cada observação e recalcular. Defina y_i=x_i-35. Calcule os y_i e a média \bar{y}.
  • Valores:
y_{1}=45-35=10,\; y_{2}=38-35=3,\; y_{3}=47-35=12,\; y_{4}=41-35=6,\; y_{5}=35-35=0,\; y_{6}=43-35=8.
Soma:
\sum_{i=1}^{6} y_i = 10+3+12+6+0+8=39,
então a média é
\bar{y}=\frac{39}{6}=6,5.

Passo 7

Comparar desvios e variância para os y_i. Observe os desvios y_i-\bar{y}:
  • Para y_{1}=10: y_{1}-\bar{y}=10-6,5=3,5.
  • Para y_{2}=3: y_{2}-\bar{y}=3-6,5=-3,5.
  • Para y_{3}=12: y_{3}-\bar{y}=12-6,5=5,5.
  • Para y_{4}=6: y_{4}-\bar{y}=6-6,5=-0,5.
  • Para y_{5}=0: y_{5}-\bar{y}=0-6,5=-6,5.
  • Para y_{6}=8: y_{6}-\bar{y}=8-6,5=1,5.
Repare que cada y_i-\bar{y} é exatamente igual a x_i-\bar{x} que já tínhamos calculado. Logo os quadrados dos desvios e sua soma também são os mesmos:
\sum_{i=1}^{6}(y_i-\bar{y})^{2}=99,5.
Aplicando a fórmula da variância amostral para os y_i,
s^{2}_y=\frac{99,5}{6-1}=19,9, \qquad s_y=\sqrt{19,9}\approx 4,4609.
Explicação geral (útil na prova): se y_i=x_i-c com c constante, então \bar{y}=\bar{x}-c e
y_i-\bar{y}=(x_i-c)-(\bar{x}-c)=x_i-\bar{x},
ou seja, os desvios não mudam. Por isso a variância e o desvio padrão permanecem iguais quando adiciona/subtrai uma constante a todos os dados.

Passo 8

Comparação e comentário final (respira, você conseguiu!): os resultados de (b) coincidem exatamente com os de (a), porque subtrair a mesma constante de todas as observações apenas desloca a média, sem alterar os desvios individuais usados no cálculo da variância.

Resposta

(a) s^{2}=19,9 e s=4,4609
(b) s^{2}=19,9 e s=4,4609

Exercícios relacionados