Uma amostra com seis resistores resultou nas seguintes resistências (ohms):
a) Calcule a variância e o desvio padrão da amostra. (Resposta:
e
)
b) Subtraia 35 de cada uma das medidas originais de resistências e calcule a variância e o desvio padrão. Compare seus resultados com aqueles obtidos nos itens (a). (Resposta:
e
)
b) Subtraia 35 de cada uma das medidas originais de resistências e calcule a variância e o desvio padrão. Compare seus resultados com aqueles obtidos nos itens (a). (Resposta:
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra com seis resistências (em ohms):
O que pede:
- (a) Calcular a variância e o desvio padrão da amostra.
- (b) Subtrair
de cada medida, então calcular novamente a variância e o desvio padrão e comparar com (a).
Também anotei os dados para usar direto nas contas (isso evita erro por distração).
Passo 2
Vamos apresentar as fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa — com calma, passo a passo.
- A média amostral é dada por
onde
é o número de observações (aqui
),
são as observações e
é a média (o valor central da amostra).
- A variância amostral (estimator não enviesado) é
Aqui
é a variância da amostra, e
é o desvio da i-ésima observação em relação à média. Dividimos por
(e não por
) para obter um estimador não enviesado da variância da população (isso é a correção de Bessel).
- O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo nos dados. Se ficar cansado, respira fundo — vamos devagar.
Passo 3
Calcular a média
.
Somando os valores:
Como
, a média é
Então a média das resistências da amostra é
(ohms).
Passo 4
Calcular os desvios
e seus quadrados
. Vou listar cada um e depois somar, para não perder passo.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora somo todos os quadrados dos desvios:
Passo 5
Calcular a variância amostral
e o desvio padrão
.
Usando a fórmula
com
e
, obtemos
O desvio padrão é
(Isto conclui o item (a).)
Passo 6
Agora (item b): subtrair
de cada observação e recalcular. Defina
. Calcule os
e a média
.
- Valores:
Soma:
então a média é
Passo 7
Comparar desvios e variância para os
. Observe os desvios
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Repare que cada
é exatamente igual a
que já tínhamos calculado. Logo os quadrados dos desvios e sua soma também são os mesmos:
Aplicando a fórmula da variância amostral para os
,
Explicação geral (útil na prova): se
com
constante, então
e
ou seja, os desvios não mudam. Por isso a variância e o desvio padrão permanecem iguais quando adiciona/subtrai uma constante a todos os dados.
Passo 8
Comparação e comentário final (respira, você conseguiu!): os resultados de (b) coincidem exatamente com os de (a), porque subtrair a mesma constante de todas as observações apenas desloca a média, sem alterar os desvios individuais usados no cálculo da variância.
Resposta
(a)
e
(b) e
(b)