A potência elétrica consumida mensalmente por uma indústria está relacionada, entre outras variáveis, à temperatura média ambiente e à pureza média do produto. A média e o desvio padrão dos dados históricos do ano passado são apresentados na seguinte tabela.
Variável Média Desvio padrão
Temperatura 57,0833 19,4069
Pureza 89,3333 2,2697
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros
a) Calcule o coeficiente de variação e compare a variabilidade presente nas variáveis. (Resposta: Temperatura c v=33,9975 \% e Pureza c v=2,5407 \% )
b) Por que o coeficiente de variação é mais adequado para comparar a variabilidade ao invés do desvio padrão?

Passo 1

O enunciado fornece médias e desvios-padrão históricos das duas variáveis e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: média \bar{x}_{T}=57{,}0833 e desvio-padrão s_{T}=19{,}4069.
    • Pureza: média \bar{x}_{P}=89{,}3333 e desvio-padrão s_{P}=2{,}2697.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o coeficiente de variação (CV) de cada variável e comparar a variabilidade entre elas.
    • (b) Explicar por que o coeficiente de variação é mais adequado para comparar variabilidades do que o desvio-padrão.

Passo 2

O que é o coeficiente de variação e qual fórmula usar (aula rápida e prática).
  • Intuição: o coeficiente de variação mede a variação relativa de uma variável em relação à sua média. Ele responde: “o quanto o dado varia comparado ao seu valor médio?” — isto é útil quando queremos comparar variabilidade entre grandezas com médias ou unidades diferentes.
  • Fórmula: o coeficiente de variação em porcentagem é dado por
\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%
onde \bar{x} é a média da variável e s é o desvio-padrão.
  • Explicação de cada símbolo:
    • \bar{x}: média aritmética dos dados (valor típico).
    • s: desvio-padrão amostral (medida de dispersão na mesma unidade da variável).
    • \text{CV}: valor adimensional (sem unidade) quando expresso em razão; em porcentagem fica mais intuitivo.

Passo 3

Cálculo do coeficiente de variação para a Temperatura — passo a passo (faz como na prova).
  • Aplicar a fórmula com os números dados:
\text{CV}_{T} = \frac{s_{T}}{\bar{x}_{T}}\times 100\%.
  • Substituindo \bar{x}_{T}=57{,}0833 e s_{T}=19{,}4069:
\text{CV}_{T} = \frac{19{,}4069}{57{,}0833}\times 100\%.
  • Dividindo e multiplicando por 100\%:
\frac{19{,}4069}{57{,}0833}\approx 0{,}339975
\text{CV}_{T}\approx 0{,}339975\times 100\%=33{,}9975\%.
  • Interpretação imediata: a temperatura apresenta uma variação de cerca de 33{,}9975\% em relação à sua média — ou seja, variação relativa alta.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de variação para a Pureza — passo a passo.
  • Aplicar a fórmula:
\text{CV}_{P} = \frac{s_{P}}{\bar{x}_{P}}\times 100\%.
  • Substituindo \bar{x}_{P}=89{,}3333 e s_{P}=2{,}2697:
\text{CV}_{P} = \frac{2{,}2697}{89{,}3333}\times 100\%.
  • Dividindo e multiplicando por 100\%:
\frac{2{,}2697}{89{,}3333}\approx 0{,}025407
\text{CV}_{P}\approx 0{,}025407\times 100\%=2{,}5407\%.
  • Interpretação imediata: a pureza varia apenas cerca de 2{,}5407\% em relação à sua média — estabilidade alta.

Passo 5

Comparação das variabilidades e interpretação prática (como responder numa prova).
  • Valores obtidos:
    • \text{CV}_{T}\approx 33{,}9975\%.
    • \text{CV}_{P}\approx 2{,}5407\%.
  • Conclusão: a Temperatura tem variabilidade relativa muito maior do que a Pureza. Em termos simples: a Temperatura “balança” muito mais em relação ao seu valor médio do que a Pureza, que é muito mais constante.

Passo 6

Por que usar o coeficiente de variação em vez do desvio-padrão (explicação didática e exemplos).
  • Problema com desvio-padrão puro:
    • O desvio-padrão s tem as mesmas unidades da variável. Portanto, valores de s não são comparáveis quando as variáveis têm escalas ou unidades diferentes, ou quando as médias são muito diferentes.
    • Exemplo rápido: comparar s=10 para uma variável com média 100 e s=10 para outra com média 10{,}0. O primeiro tem dispersão relativa pequena ( 10\%), o segundo tem dispersão enorme ( 100\%), embora os desvios absolutos sejam iguais.
  • Por que o CV é mais adequado:
    • O CV é adimensional (razão s/\bar{x}), portanto permite comparar a variabilidade relativa entre variáveis com unidades diferentes ou médias muito distintas.
    • Em provas e aplicações práticas, o CV dá uma noção percentual de dispersão que é fácil de interpretar e comparar.
  • Limitações e cuidados ao usar CV:
    • A média \bar{x} deve ser diferente de zero; se \bar{x} estiver muito próximo de zero, o CV pode explodir e ser enganoso.
    • Para variáveis em escala intervalar com zero arbitrário (por exemplo, temperatura em Celsius ou Fahrenheit), o CV pode ser inadequado porque o zero não representa ausência da propriedade. Nesses casos, use escala que tenha zero verdadeiro (Kelvin para temperatura) ou evite usar CV.
    • Para distribuições muito assimétricas ou com outliers, tanto s quanto o CV podem ser influenciados; considere medidas robustas se for o caso.
  • Regra prática para prova: quando quiser comparar “qual variável é mais estável em termos relativos”, calcule o CV. Se a questão mencionar unidades diferentes ou médias muito diferentes, mencione que o CV é indicado por ser adimensional.

Resposta

Temperatura: \text{CV}=33{,}9975\%
Pureza: \text{CV}=2{,}5407\%

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