Uma amostra de solo arenoso em seu estado natural tem 126 \mathrm{~cm}^{3} de volume e 210 g de massa. Quando seca sua massa é de 184,21 \mathrm{~g}.
Dado \rho_{\mathrm{s}}=2,67 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, determinar:
a) \rho;
b) \rho_{\mathrm{d}};
c) e,
d) n
e) Sr .

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de solo com:
  • Volume total V=126\\ \mathrm{cm}^3.
  • Massa no estado natural (úmida) M_{\text{total}}=210\\ \mathrm{g}.
  • Massa após secagem M_{\text{sec}}=184,21\\ \mathrm{g}.
  • Densidade das partículas sólidas \rho_{\mathrm{s}}=2,67\\ \mathrm{g/cm}^3.
O que o exercício pede:
a) \rho (densidade aparente no estado natural — massa total por volume total);
b) \rho_{\mathrm{d}} (densidade seca — massa seca por volume total);
c) e (relação vazios — razão entre volume dos vazios e volume dos sólidos);
d) n (porosidade — fração do volume ocupado por vazios);
e) S_r (grau de saturação — fração do volume dos vazios ocupada por água).

Passo 2

Primeiro vamos calcular massas e volumes intermédios importantes e explicar fórmulas básicas:
  • Massa de água presente: M_{\mathrm{w}}=M_{\text{total}}-M_{\text{sec}}. Isto é só subtrair a massa seca da massa úmida; o que sobra é a água.
  • Lembre: densidade (ou massa volúmica) é massa dividida por volume. Para a densidade aparente usamos a massa total; para a densidade seca usamos a massa seca.
Calcule:
M_{\mathrm{w}}=210-184{,}21=25{,}79\\ \mathrm{g}.

Passo 3

(a) Densidade aparente no estado natural \rho.
Fórmula: \rho=\dfrac{M_{\text{total}}}{V}.
Explicando: é a massa total (sólidos + água) dividida pelo volume total da amostra.
Calcule:
\rho=\dfrac{210}{126}=1{,}666666\ldots\\ \mathrm{g/cm}^3.
Arredondando a 4 casas decimais: \rho=1{,}6667\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 4

(b) Densidade seca \rho_{\mathrm{d}}.
Fórmula: \rho_{\mathrm{d}}=\dfrac{M_{\text{sec}}}{V}.
Explicando: usamos só a massa dos sólidos secos (sem a água) dividida pelo volume total da prova.
Calcule:
\rho_{\mathrm{d}}=\dfrac{184{,}21}{126}=1{,}462698\dots\\ \mathrm{g/cm}^3.
Arredondando a 4 casas decimais: \rho_{\mathrm{d}}=1{,}4627\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 5

Vamos calcular o teor de água (úmido) w — isto ajuda a entender o grau de saturação depois.
Definição: w=\dfrac{M_{\mathrm{w}}}{M_{\text{sec}}} (fração em massa).
Calcule:
w=\dfrac{25{,}79}{184{,}21}=0{,}1399935\ldots \approx 0{,}1400\quad(\text{ou }14{,}00\%).
Explicação: w nos diz quantos gramas de água existem por grama de sólidos secos.

Passo 6

Precisamos do volume dos sólidos V_{\mathrm{s}} e do volume dos vazios V_{\mathrm{v}}.
Fórmula para volume de sólidos usando a densidade de partículas:
V_{\mathrm{s}}=\dfrac{M_{\text{sec}}}{\rho_{\mathrm{s}}}.
Explicando: massa dos sólidos dividida pela densidade individual das partículas nos dá o volume ocupado pelas partículas.
Calcule:
V_{\mathrm{s}}=\dfrac{184{,}21}{2{,}67}=68{,}9925093\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{aprox.}).
Volume de vazios:
V_{\mathrm{v}}=V - V_{\mathrm{s}}=126-68{,}9925093=57{,}0074907\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

(c) Relação vazios e.
Definição: e=\dfrac{V_{\mathrm{v}}}{V_{\mathrm{s}}}.
Justificativa: é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos; é adimensional.
Calcule:
e=\dfrac{57{,}0074907}{68{,}9925093}=0{,}8266818\ldots
Arredondando: e=0{,}8267.
Observação alternativa (fórmula útil): a partir de densidades secas e de partículas também vale
e=\dfrac{\rho_{\mathrm{s}}}{\rho_{\mathrm{d}}}-1,
o que leva ao mesmo resultado (é só reescrever usando V=V_{\mathrm{s}}(1+e)).

Passo 8

(d) Porosidade n.
Definição: n=\dfrac{V_{\mathrm{v}}}{V} (fração do volume total ocupada por vazios). Pode ser obtida também por
n=\dfrac{e}{1+e}=1-\dfrac{\rho_{\mathrm{d}}}{\rho_{\mathrm{s}}}.
Calcule usando n=1-\dfrac{\rho_{\mathrm{d}}}{\rho_{\mathrm{s}}}:
n=1-\dfrac{1{,}4626984}{2{,}67}=0{,}4524404\ldots
Arredondando: n=0{,}4524 (ou 45{,}24\%).

Passo 9

(e) Grau de saturação S_r.
Definição: S_r=\dfrac{V_{\mathrm{w}}}{V_{\mathrm{v}}}, onde V_{\mathrm{w}} é o volume de água. Como V_{\mathrm{w}}=\dfrac{M_{\mathrm{w}}}{\rho_{\mathrm{w}}} e normalmente \rho_{\mathrm{w}}=1\\ \mathrm{g/cm}^3, então V_{\mathrm{w}}=M_{\mathrm{w}} em cm ^3 (quando massa em g).
Outra fórmula prática (derivada):
S_r=\dfrac{w\,\rho_{\mathrm{s}}}{e\,\rho_{\mathrm{w}}}.
Calcule (usando volumes diretamente):
V_{\mathrm{w}}=25{,}79\\ \mathrm{cm}^3, \qquad S_r=\dfrac{25{,}79}{57{,}0074907}=0{,}452397\ldots
Arredondando: S_r=0{,}4524 (ou 45{,}24\%).
Observação: usando a fórmula com w e e dá o mesmo resultado (confere a coerência dos cálculos).

Resposta

a) \rho=1{,}6667\\ \mathrm{g/cm}^3
b) \rho_{\mathrm{d}}=1{,}4627\\ \mathrm{g/cm}^3
c) e=0{,}8267
d) n=0{,}4524 (ou 45{,}24\%)
e) S_r=0{,}4524 (ou 45{,}24\%)

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