Um bloco de 0,2 \mathrm{~m}^{2}, com 2,0 \mathrm{~kg} de massa, desliza para baixo em um plano inclinado, sobre uma película de óleo SAE 30 a 20^{\circ} \mathrm{C} com 0,02 \mathrm{~mm} de espessura. Se o bloco for solto t=0 \mathrm{~s}, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Esboce a variação esperada para a velocidade do bloco em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a aceleração inicial do bloco no instante t=0 e (2) uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo v(t). Dados fornecidos e convenções que vou usar:
  • Área da face em contato com o filme de óleo: A=0{,}2\\ \mathrm{m}^2.
  • Massa do bloco: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Espessura do filme de óleo: h=0{,}02\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Óleo: SAE 30 a 20^\circ\mathrm{C}. (Vou usar mais adiante um valor típico aproximado para a viscosidade dinâmica deste óleo.)
  • O bloco desliza sobre um plano inclinado; o enunciado não dá o ângulo numérico do plano, então denoto o ângulo por \alpha. Todas as respostas serão dadas em função de \alpha (se você tiver um valor numérico para \alpha, basta substituir).
  • O bloco é solto em t=0 com velocidade inicial v(0)=0.
Nada mais é assumido. A resolução começa agora.

Passo 2

Entendendo as forças e a física: vamos montar a equação do movimento ao longo do plano inclinado.
  1. Força motriz (componente do peso ao longo do plano): F_{\text{peso, paralela}}=mg\sin\alpha.
    • Aqui m é a massa do bloco, g é a aceleração da gravidade (uso g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}) e \alpha é o ângulo do plano.
  2. Força de resistência viscosa devido ao filme de óleo: quando um corpo desliza sobre um filme delgado de fluido newtoniano, a taxa de cisalhamento no fluido pode ser aproximada por \dfrac{v}{h} (velocidade do bloco dividida pela espessura do filme). A tensão de cisalhamento \tau é então
\tau = \mu \frac{v}{h},
onde \mu é a viscosidade dinâmica do óleo e v é a velocidade relativa tangencial do bloco. A força viscosa total que age sobre o bloco (resistindo o movimento) é essa tensão vezes a área:
F_{\text{visc}} = \tau A = \mu \frac{v}{h}\, A = \frac{\mu A}{h}\, v.
  • Explicando as variáveis: \mu (Pa·s) mede “a espessura” do fluido; A é a área de contato; h é a espessura do filme; v é a velocidade do bloco ao longo do plano.
  1. Observação sobre \mu: tabelas técnicas dão valores típicos para óleos SAE 30 a 20^\circ\mathrm{C}. Um valor representante (aproximação usada em livros/exercícios) é \mu\approx 0{,}26\\ \mathrm{Pa\!\cdot\!s}. Vou usar esse valor como número indicativo quando precisar de um número; manterei primeiro \mu simbólico nas fórmulas para ficar claro.

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton ao longo do plano inclinado (eixo positivo para baixo ao longo do plano):
m\frac{dv}{dt} = mg\sin\alpha - F_{\text{visc}}.
Substituindo F_{\text{visc}}=\dfrac{\mu A}{h} v obtemos a equação diferencial:
m\frac{dv}{dt} = mg\sin\alpha - \frac{\mu A}{h}\, v.
Reorganizando:
\frac{dv}{dt} + \underbrace{\frac{\mu A}{m h}}_{k}\, v = g\sin\alpha.
Aqui introduzi a constante k=\dfrac{\mu A}{m h} para simplificar a notação.

Passo 4

Aceleração inicial a(0): no instante t=0 o bloco é solto com v(0)=0. A força viscosa é proporcional à velocidade, logo no instante inicial F_{\text{visc}}(0)=\dfrac{\mu A}{h}\,v(0)=0. Portanto a aceleração inicial é simplesmente a componente da gravidade ao longo do plano:
a(0)=\left.\frac{dv}{dt}\right|_{t=0}=g\sin\alpha.
Comentário amigo: ou seja, no instante exato em que solto, o óleo ainda não oferece resistência (a resistência viscosa cresce conforme ganha velocidade).

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial para v(t). Temos
\frac{dv}{dt} + k v = g\sin\alpha,\qquad v(0)=0,
com k=\dfrac{\mu A}{m h}. Essa é uma equação linear de 1ª ordem com solução padrão:
v(t)=\frac{g\sin\alpha}{k}\left(1-e^{-k t}\right).
Voltando à notação com parâmetros físicos,
v(t)=\frac{g\sin\alpha}{\dfrac{\mu A}{m h}}\left(1-\exp\!\left(-\frac{\mu A}{m h}\,t\right)\right).
Podemos também definir a constante de tempo
\tau=\frac{m h}{\mu A},
para escrever a solução de forma mais direta:
v(t)=g\sin\alpha\;\tau\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Também vale notar o limite de longo prazo (velocidade terminal):
v(\infty)=\frac{g\sin\alpha}{k}=g\sin\alpha\;\tau=\frac{mg\sin\alpha\,h}{\mu A}.

Passo 6

Avaliação numérica (usando o valor típico \mu\approx0{,}26\\ \mathrm{Pa\!\cdot\!s} para SAE 30 a 20^\circ\mathrm{C}, apenas como ilustração):
  • Calculando a constante de tempo
\tau=\frac{m h}{\mu A}=\frac{2{,}0\cdot 2{,}0\times10^{-5}}{0{,}26\cdot 0{,}2} =\frac{4{,}0\times10^{-5}}{5{,}2\times10^{-2}} \approx 7{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Isso é muito pequeno: cerca de 0{,}00077\\ \mathrm{s}. Significado físico: o bloco alcança quase imediatamente (em frações de milissegundo) a velocidade terminal muito baixa.
  • Velocidade terminal (em função de \alpha):
v(\infty)=g\sin\alpha\;\tau\approx 9{,}81\sin\alpha\times 7{,}7\times10^{-4}\approx 7{,}56\times10^{-3}\sin\alpha\\ \mathrm{m/s}.
Para \alpha=30^\circ (exemplo), v(\infty)\approx 7{,}56\times10^{-3}\times \tfrac12\approx 3{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} — uma velocidade muito pequena.

Passo 7

Esboço qualitativo de v(t): a curva é uma subida exponencial do tipo v(t)=v(\infty)(1-e^{-t/\tau}):
  • Em t=0: v=0.
  • Para t\sim \tau: v atinge cerca de 63\% de v(\infty).
  • Para t\gtrsim 5\tau: v está praticamente em v(\infty).
Como \tau é muito pequeno (ordem de 10^{-4}\text{--}10^{-3}\\ \mathrm{s} neste caso), o bloco tem aceleração inicial g\sin\alpha mas muito rapidamente (praticamente instantaneamente) a resistência viscosa equilibra a componente do peso, e a velocidade fica em um valor terminal pequeno. Em um esboço no papel, a curva começa em zero e sobe muito rapidamente (curva tipo exponencial saturante) até o nível v(\infty).

Resposta

a(0)=g\sin\alpha\n
v(t)=\frac{g\sin\alpha}{\dfrac{\mu A}{m h}}\left(1-\exp\!\left(-\frac{\mu A}{m h}\,t\right)\right) = \frac{mg\sin\alpha\,h}{\mu A}\left(1-\exp\!\left(-\frac{\mu A}{m h}\,t\right)\right)

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