Com uma amostra de solo arenoso foram realizados 3 ensaios de cisalhamento direto, obtendo-se os seguintes resultados:
CORPO DE PROVA TENSÃO NORMAL (kPa) TENSÃO DE CISALHAMENTO (kPa)
1 50 30
2 100 61
3 200 119
Com a mesma amostra foi preparado um corpo de prova para um ensaio de compressão triaxial CD, com tensão confinante de 120 kPa . Quais os valores previstos para a tensão axial de ruptura e para a tensão normal e cisalhante no plano de ruptura ?
\text { Resposta: } \sigma=180 \mathrm{kPa} ; \tau=105 \mathrm{kPa} \text {; }

Passo 1

O enunciado dá três ensaios de cisalhamento direto (valores pegados da tabela do enunciado) e pede, para um ensaio triaxial CD com tensão confinante \,120\\ \mathrm{kPa}\,, os seguintes valores previstos:
  • a tensão axial de ruptura (ou seja \sigma_1 no colapso do corpo de prova triaxial);
  • a tensão normal \sigma_n no plano de ruptura;
  • a tensão cisalhante \tau no plano de ruptura.
Dados fornecidos (três ensaios de cisalhamento direto):
  • Ensaio 1: \sigma_n=50\\ \mathrm{kPa}, \tau=30\\ \mathrm{kPa}.
  • Ensaio 2: \sigma_n=100\\ \mathrm{kPa}, \tau=61\\ \mathrm{kPa}.
  • Ensaio 3: \sigma_n=200\\ \mathrm{kPa}, \tau=119\\ \mathrm{kPa}.
Vamos, passo a passo, obter os parâmetros da lei de Mohr–Coulomb a partir desses dados e prever \sigma_1, \sigma_n e \tau para \sigma_3=120\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Modelo que vamos usar e ideia física (pequena aula): a lei de Mohr–Coulomb para resistência ao cisalhamento no ensaio direto é
\tau = c + \sigma_n \tan\varphi,
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento na ruptura (kPa);
  • c é a coesão do solo (kPa);
  • \sigma_n é a tensão normal aplicada no plano de cisalhamento (kPa);
  • \varphi é o ângulo de atrito interno (graus); \tan\varphi é a tangente desse ângulo.
Para determinar c e \tan\varphi a partir dos três pares (\sigma_n,\tau) fazemos um ajuste linear (regressão linear) de \tau versus \sigma_n. Escrevemos \tau = a + b\,\sigma_n com a=c e b=\tan\varphi.
Cálculo das somas necessárias (usando os três pontos):
\sum \sigma_n = 50 + 100 + 200 = 350, \qquad \sum \tau = 30 + 61 + 119 = 210,
\sum \sigma_n \tau = 50\cdot30 + 100\cdot61 + 200\cdot119 = 31400, \qquad \sum \sigma_n^2 = 50^2 + 100^2 + 200^2 = 52500.
Fórmula do coeficiente angular da regressão:
b = \frac{\sum \sigma_n\tau - n\bar\sigma_n\bar\tau}{\sum\sigma_n^2 - n\bar\sigma_n^2},
onde n=3, \bar\sigma_n=\dfrac{350}{3} e \bar\tau=\dfrac{210}{3}=70.
Calculando (mostrando contas):
\sum \sigma_n\tau - n\bar\sigma_n\bar\tau = 31400 - 3\cdot\frac{350}{3}\cdot70 = 31400 - 24500 = 6900,
\sum\sigma_n^2 - n\bar\sigma_n^2 = 52500 - 3\cdot\left(\frac{350}{3}\right)^2 =52500 - 3\cdot\left(\frac{122500}{9}\right) =52500 - \frac{367500}{9} =52500 - 40833{,}333\ldots =11666{,}666\ldots
Logo
b=\tan\varphi = \frac{6900}{11666{,}666\ldots}=0{,}59142857\\ (\text{aprox.}).
Intercepto:
a = \bar\tau - b\,\bar\sigma_n = 70 - 0{,}59142857\cdot\frac{350}{3}=70-69=1\\ \mathrm{kPa}.
Portanto estimados:
c \approx 1\\ \mathrm{kPa},\qquad \tan\varphi \approx 0{,}59142857.
Agora obtemos \varphi, \sin\varphi e \cos\varphi (vai ser útil adiante). Usamos identidades trigonométricas:
\varphi = \arctan(\tan\varphi)\approx \arctan(0{,}59142857)\approx 30{,}6^\circ.
E
\sin\varphi = \frac{\tan\varphi}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}},\qquad \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}}.
Calculando numericamente:
\sin\varphi \approx \frac{0{,}59142857}{\sqrt{1+0{,}59142857^2}}\approx 0{,}5092,
\cos\varphi \approx \frac{1}{\sqrt{1+0{,}59142857^2}}\approx 0{,}8606.
Breve comentário amigo: resumindo — a partir dos ensaios diretos obtivemos uma pequena coesão ( c\approx1\\ \mathrm{kPa}) e \varphi\approx30{,}6^\circ. Pronto — com isso já dá para prever o comportamento no triaxial.

Passo 3

Cálculo da tensão axial de ruptura \sigma_1 no triaxial CD com \sigma_3=120\\ \mathrm{kPa}.
Fórmula padrão (para tensões totais em triaxial compressivo, com critério de Mohr–Coulomb) que dá \sigma_1 em função de \sigma_3, c e \varphi:
\sigma_1 = \sigma_3\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} + \frac{2c\cos\varphi}{1-\sin\varphi}.
Explicação curta: essa fórmula resulta de igualar a circunferência de Mohr (centro e raio dados por \sigma_1,\sigma_3) à envolvente de Coulomb; é a expressão clássica usada para prever \sigma_1 a partir de \sigma_3.
Substituindo os valores:
\sigma_3 = 120\\ \mathrm{kPa},\quad c=1\\ \mathrm{kPa},\quad \sin\varphi\approx 0{,}5092,\quad \cos\varphi\approx 0{,}8606.
Calculemos os termos:
\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} = \frac{1+0{,}5092}{1-0{,}5092}=\frac{1{,}5092}{0{,}4908}\approx 3{,}075.
\frac{2c\cos\varphi}{1-\sin\varphi} = \frac{2\cdot1\cdot0{,}8606}{0{,}4908}\approx \frac{1{,}7212}{0{,}4908}\approx 3{,}507.
Agora
\sigma_1 \approx 120\cdot 3{,}075 + 3{,}507 \approx 369 + 3{,}507 = 372{,}507\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma razoável: \sigma_1\approx 373\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Cálculo da tensão normal \sigma_n e da tensão cisalhante \tau no plano de ruptura.
Geometria de Mohr e a orientação do plano de ruptura: no triaxial compressiono a falha ocorre em um plano que forma, com o plano normal ao eixo principal, o ângulo \alpha = 45^\circ + \dfrac{\varphi}{2}. No diagrama de Mohr, as coordenadas do ponto de contato entre o círculo de Mohr (definido por \sigma_1,\sigma_3) e a reta de Coulomb dão \sigma_n e \tau. Usamos as fórmulas diretas (deriváveis da parametrização da circunferência e da condição de tangência):
\text{centro} = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2},\qquad \text{raio} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2},
\sigma_n = \text{centro} - (\text{raio})\sin\varphi, \qquad \tau = (\text{raio})\cos\varphi.
Calculando com \sigma_1\approx 372{,}507\\ \mathrm{kPa} e \sigma_3=120\\ \mathrm{kPa}:
\text{centro} = \frac{372{,}507+120}{2}= \frac{492{,}507}{2}=246{,}2535\\ \mathrm{kPa},
\text{raio} = \frac{372{,}507-120}{2}= \frac{252{,}507}{2}=126{,}2535\\ \mathrm{kPa}.
Agora
\sigma_n = 246{,}2535 - 126{,}2535\cdot 0{,}5092 \approx 246{,}2535 - 64{,}2840 \approx 181{,}9695\\ \mathrm{kPa},
\tau = 126{,}2535\cdot 0{,}8606 \approx 108{,}659\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma prática: \sigma_n\approx 182\\ \mathrm{kPa} e \tau\approx 109\\ \mathrm{kPa}.
Comentário motivador: deu para ver que os valores previstos para \sigma_n e \tau ficam bem próximos dos números que você citou ( 180\\ \mathrm{kPa} e 105\\ \mathrm{kPa}); pequenas diferenças vêm do ajuste dos dados experimentais e do arredondamento dos parâmetros.

Passo 5

Resumo final e orientação rápida para a prova (dica amiga):
  • Procedimento típico: a) ajustar \tau=c+\sigma_n\tan\varphi aos ensaios diretos; b) obter c e \varphi; c) usar a fórmula de \sigma_1 para triaxial drenado; d) calcular centro/raio do círculo de Mohr e daí \sigma_n e \tau no plano de ruptura.
  • Na prova, faça os cálculos com calma, organize somas para a regressão e lembre-se das fórmulas trigonométricas para passar de \tan\varphi para \sin\varphi,\cos\varphi.

Resposta

\sigma_1 \approx 373\\ \mathrm{kPa}
\sigma_n \approx 182\\ \mathrm{kPa}
\tau \approx 109\\ \mathrm{kPa}

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