Analise a série:
Passo 1
O enunciado dá a série com termo geral
A pergunta é: a série
converge ou diverge? Listei as informações úteis:
- O termo geral
é positivo para todo . - Não foi pedido o valor da soma, apenas a natureza da convergência (se converge ou diverge).
Passo 2
Primeiro comentário pedagógico sobre séries com termos positivos: quando todos os termos
são não negativos, a série é monótona crescente nas somas parciais e não existe diferença entre convergência e convergência absoluta — se ela converge, é convergente absolutamente. Para decidir convergência de séries de termos positivos costumamos usar testes de comparação com séries conhecidas (por exemplo séries p). Vou usar esse raciocínio passo a passo.
Passo 3
Apresentando a série-p (fato essencial que vou usar):
converge se, e somente se,
. Isso é um teste padrão: para
a série
converge (essa é a famosa série de Basel). Esse tipo de série será minha referência para comparar com
.
Passo 4
Escolha do método: duas maneiras simples aqui são (i) comparação direta (majorante) com
e (ii) teste da comparação-limite com
. Vou mostrar as duas porque são curtas e educativas; ambas levam à mesma conclusão. A ideia básica é notar que, para
grande,
se comporta como
, então
deve se comportar como
.
Passo 5
Método 1 — comparação-limite (limite de razão com uma série-p):
Calculo o limite
Calculo o limite
Para avaliar esse limite divido numerador e denominador por
:
Como
é um número finito e estritamente positivo (
), o teste da comparação-limite diz que
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como
converge (pelo teste da série-p com
), concluímos que
também converge.
Passo 6
Método 2 — comparação direta (majorante simples):
Observação de desigualdade válida para todo :
Observação de desigualdade válida para todo
Multiplicando ambos os lados por
(positivo), obtemos
Portanto, para todo
,
Como
converge (série-p com
), pelo teste da comparação direta a série
converge.
Passo 7
Interpretação final e reforço didático: as duas maneiras (limite e comparação direta) mostram que os termos da série se anulam tão rápido quanto
(na verdade
quando
). Como
, isso garante convergência. Como os termos são positivos, esta é também convergência absoluta. Observação adicional útil para provas: sempre que o termo geral tem um quociente de polinômios, comparar os graus do numerador e denominador (aqui grau
no numerador e grau
no denominador) já dá a ideia de que
tem ordem
.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).