Analise a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n^{2}}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série com termo geral
a_n=\frac{5 n^{2}}{n^{4}+1},\qquad n=1,2,3,\dots
A pergunta é: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n^{2}}{n^{4}+1}
converge ou diverge? Listei as informações úteis:
  • O termo geral a_n é positivo para todo n.
  • Não foi pedido o valor da soma, apenas a natureza da convergência (se converge ou diverge).

Passo 2

Primeiro comentário pedagógico sobre séries com termos positivos: quando todos os termos a_n são não negativos, a série é monótona crescente nas somas parciais e não existe diferença entre convergência e convergência absoluta — se ela converge, é convergente absolutamente. Para decidir convergência de séries de termos positivos costumamos usar testes de comparação com séries conhecidas (por exemplo séries p). Vou usar esse raciocínio passo a passo.

Passo 3

Apresentando a série-p (fato essencial que vou usar):
\text{A série } \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}é
converge se, e somente se, p>1. Isso é um teste padrão: para p=2 a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (essa é a famosa série de Basel). Esse tipo de série será minha referência para comparar com a_n.

Passo 4

Escolha do método: duas maneiras simples aqui são (i) comparação direta (majorante) com \dfrac{5}{n^2} e (ii) teste da comparação-limite com \dfrac{1}{n^2}. Vou mostrar as duas porque são curtas e educativas; ambas levam à mesma conclusão. A ideia básica é notar que, para n grande, n^4+1 se comporta como n^4, então a_n deve se comportar como \dfrac{5}{n^2}.

Passo 5

Método 1 — comparação-limite (limite de razão com uma série-p):
Calculo o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{5 n^{2}}{n^{4}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5 n^{2}\cdot n^{2}}{n^{4}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{5 n^{4}}{n^{4}+1}.
Para avaliar esse limite divido numerador e denominador por n^{4}:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{1+\dfrac{1}{n^{4}}}=5.
Como L é um número finito e estritamente positivo ( L=5), o teste da comparação-limite diz que \sum a_n e \sum 1/n^{2} têm o mesmo comportamento de convergência. Como \sum 1/n^{2} converge (pelo teste da série-p com p=2>1), concluímos que \sum a_n também converge.

Passo 6

Método 2 — comparação direta (majorante simples):
Observação de desigualdade válida para todo n\ge1:
n^{4}+1\ge n^{4}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n^{4}+1}\le\frac{1}{n^{4}}.
Multiplicando ambos os lados por 5n^{2} (positivo), obtemos
\frac{5 n^{2}}{n^{4}+1}\le \frac{5 n^{2}}{n^{4}}=\frac{5}{n^{2}}.
Portanto, para todo n,
0\le a_n\le \frac{5}{n^{2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{n^{2}}=5\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série-p com p=2), pelo teste da comparação direta a série \sum a_n converge.

Passo 7

Interpretação final e reforço didático: as duas maneiras (limite e comparação direta) mostram que os termos da série se anulam tão rápido quanto 1/n^{2} (na verdade \,a_n\sim 5/n^{2}\, quando n\to\infty). Como p=2>1, isso garante convergência. Como os termos são positivos, esta é também convergência absoluta. Observação adicional útil para provas: sempre que o termo geral tem um quociente de polinômios, comparar os graus do numerador e denominador (aqui grau 2 no numerador e grau 4 no denominador) já dá a ideia de que a_n tem ordem 1/n^{2}.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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