1. Associe a lei de formação da função a seu gráfico, escrevendo o número romano correspondente.
    f(x)=2 sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para “associar a lei de formação da função ao seu gráfico, escrevendo o número romano correspondente”. A função dada é f(x)=2\sin(x). Informação importante fornecida:
  • A lei da função: \,f(x)=2\sin(x)\,.
    O que falta no enunciado que é essencial para responder a tarefa:
  • Não foram enviados os gráficos (os desenhos rotulados com números romanos) que devem ser associados à função. Sem esses gráficos não há como indicar qual número romano corresponde a \,f(x)=2\sin(x)\,.

Passo 2

O que significa “associar a função ao gráfico”: normalmente o exercício mostra vários gráficos (cada um com um rótulo I, II, III, …) e pede para escolher qual gráfico representa a função dada. Para fazer isso é preciso reconhecer as características visuais da função no plano xy: amplitude, período, deslocamentos e posição da linha média.

Passo 3

Vamos estudar detalhadamente as características da função \,f(x)=2\sin(x)\,. Primeiro, relembre o que é a função seno padrão:
  • A função básica \,\sin(x)\, tem amplitude 1, período 2\pi, linha média y=0 e passa por (0,0) subindo (ou seja, com derivada positiva em x=0).
    Explicando cada termo:
  • Amplitude: metade da distância entre máximo e mínimo da curva. Para \sin padrão a amplitude é 1.
  • Período: o comprimento em x para que a forma se repita. Para \sin padrão o período é 2\pi.
  • Linha média: a reta horizontal em torno da qual a onda oscila. Para \sin padrão é y=0.
  • Sinal e fase: determinam se a curva começa subindo ou descendo e se há deslocamento horizontal.

Passo 4

Como a constante multiplicativa afeta a função: se temos A\sin(x), então
  • Amplitude é |A|.
  • O sinal de A só inverte a onda verticalmente se A<0 (reflete em torno da linha média).
    No nosso caso A=2, portanto:
  • Amplitude de \,f(x)=2\sin(x)\, é |2|=2.
    Isto significa que a função oscila entre y=2 (valor máximo) e y=-2 (valor mínimo), com linha média y=0.

Passo 5

Período e pontos notáveis de \,f(x)=2\sin(x)\,:
  • Período é igual ao do seno padrão: 2\pi. Ou seja, a forma se repete a cada incremento de 2\pi em x.
  • Pontos-chave num período (usar estes pontos para identificar o gráfico):
    • x=0: \,f(0)=2\sin(0)=0.; A curva passa pela origem.
    • x=\dfrac{\pi}{2}: \,f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot1=2.; Máximo em y=2.
    • x=\pi: \,f(\pi)=2\sin(\pi)=0.; Retorna à linha média.
    • x=\dfrac{3\pi}{2}: \,f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=2\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=2\cdot(-1)=-2.; Mínimo em y=-2.
    • x=2\pi: \,f(2\pi)=0.; Um ciclo completo voltou à origem.
      Observação sobre a inclinação inicial: a derivada é \,f'(x)=2\cos(x)\,, então f'(0)=2\cos(0)=2>0. Isso confirma que em x=0 a curva está subindo (vai para valores positivos de y logo após 0).

Passo 6

Como usar essas propriedades para escolher o gráfico correto (receita prática para a prova):
  • Procure um gráfico cuja linha média seja y=0 (a onda está centrada em zero).
  • Verifique os valores máximo e mínimo: devem ser +2 e -2. Se encontrar máximos em +1 e mínimos em -1, então é \sin(x) e não 2\sin(x).
  • Meça a distância horizontal entre dois máximos consecutivos (ou dois mínimos consecutivos): deve ser 2\pi. Se o gráfico usa unidades em que um ciclo aparece a cada, por exemplo, \pi ou 4\pi, então o fator de escala horizontal é diferente.
  • Confira a posição dos pontos notáveis: o primeiro máximo a partir de x=0 deve ocorrer em x=\dfrac{\pi}{2}. Em x=0 a curva passa pela linha média e sobe.
  • Se houver deslocamento vertical (linha média não em y=0) ou deslocamento horizontal (máximos deslocados), então a função dada não é exatamente 2\sin(x) sem transformação adicional.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (para treinar a observação):
  • Se um gráfico tem máximos em y=3 e mínimos em y=-3, então representa 3\sin(\cdot) ou 3\sin(bx+\varphi)+\text{offset} — não é 2\sin(x).
  • Se a onda atinge máximo 2 e mínimo -2, mas o ciclo se repete a cada \pi (ou seja, máximos separados por \pi), então a função tem período \pi, indicando uma forma como 2\sin(2x), não 2\sin(x).
    Faça esses cheques rápidos ao olhar os gráficos disponíveis na prova.

Passo 8

Resumo prático do que procurar no(s) gráfico(s) para identificar \,f(x)=2\sin(x)\,:
  • Linha média: y=0.
  • Amplitude: 2 (máximo +2, mínimo -2).
  • Período: 2\pi (distância entre máximos consecutivos).
  • Passa por (0,0) e sobe após x=0 (primeiro quarto de período leva ao máximo em x=\tfrac{\pi}{2}).

Passo 9

Conclusão sobre o exercício enviado: como os gráficos rotulados com números romanos não foram fornecidos junto com o enunciado, não é possível indicar qual número romano corresponde a \,f(x)=2\sin(x)\,. As instruções acima explicam exatamente como fazer a verificação assim que os gráficos forem apresentados; seguindo-as você encontrará a associação correta na prova.

Resposta

Não é possível determinar: os gráficos rotulados (números romanos) não foram fornecidos.

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