A temperatura média de uma região oscila ao longo do dia de acordo com a função T(t)=15+10 \cos \frac{\pi t}{12} onde t é o tempo em horas (com t=0 às 6h da manhã) e T(t) é a temperatura em graus Celsius. Determine:
f) o período dessa função.

Passo 1

O enunciado fornece a função temperatura
T(t)=15+10\cos\frac{\pi t}{12},
onde t é o tempo em horas (com t=0 às 6h da manhã) e T(t) é a temperatura em graus Celsius. A pergunta (f) pede: determinar o período dessa função.

Passo 2

Definição útil (explicada devagar): uma função f é periódica de período P>0 se, para todo t,
f(t+P)=f(t).
O menor P>0 que satisfaz isso é chamado de período fundamental. Para a função \cos\theta sabemos que o período fundamental em termos do argumento \theta é 2\pi, ou seja,
\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta
para todo \theta.

Passo 3

No nosso caso o argumento do cosseno é
\theta(t)=\frac{\pi t}{12}.
Queremos encontrar o menor P>0 tal que
\theta(t+P)=\theta(t)+2\pi,
porque aumentar o argumento em 2\pi retorna ao mesmo valor do cosseno.

Passo 4

Resolver a equação para P:
\frac{\pi (t+P)}{12}=\frac{\pi t}{12}+2\pi.
Cancelando \frac{\pi t}{12} dos dois lados obtemos
\frac{\pi P}{12}=2\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi e isolando P,
\frac{P}{12}=2 \quad\Rightarrow\quad P=24.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular T(t+24):
T(t+24)=15+10\cos\!\left(\frac{\pi (t+24)}{12}\right) =15+10\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}+2\pi\right) =15+10\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)=T(t),
confirmando que 24 horas é um período.

Resposta

24 horas

Exercícios relacionados