Uma amostra de solo seco tem \mathrm{e}=0,65 e densidade dos grãos igual a 2,8 .
a) Determinar seu peso específico aparente natural;
b) Foi adicionado água à amostra até atingir o grau de saturação de 60 \%. O valor do indice de vazios nāo mudou. Determinar o teor de umidade e o peso específico aparente úmido;
c) A amostra foi submersa e o grau de saturação atingiu o valor de 95 \%. Determinar o peso especifico submerso da amostra;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
Dados (informação do enunciado)
e=0,65,\qquad G_s=2,8,\qquad \text{amostra inicialmente seca (ou seja, }w=0\text{).}
Vou também usar o valor padrão da água
\gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^3}.
Perguntas (o que devemos determinar)
  1. Determinar o peso específico aparente natural da amostra (isto é, o peso específico quando a amostra está seca).
  2. Após adicionar água até o grau de saturação S=60\% e mantendo e inalterado, determinar o teor de umidade w e o peso específico aparente úmido.
  3. Depois de submersa com S=95\%, determinar o peso específico submerso da amostra.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e derivação passo a passo)
  • Definições básicas:
    • e é o índice de vazios, isto é \;e=\dfrac{V_v}{V_s}, onde V_v é o volume de vazios e V_s o volume de sólidos.
    • G_s é a massa específica relativa dos grãos (densidade dos grãos relativa à água), ou seja \;G_s=\dfrac{\rho_s}{\rho_w}.
    • w (teor de umidade) é a razão entre massa de água e massa de sólidos: \;w=\dfrac{M_w}{M_s}.
    • Grau de saturação S é a fração do volume de vazios preenchida por água: \;S=\dfrac{V_w}{V_v}.
  • Relação para o peso específico a seco (derivação):
    1. Massa de sólidos por unidade de volume total: M_s = \rho_s V_s = G_s\rho_w V_s.
    2. Volume total V = V_s + V_v = V_s(1+e).
    3. Densidade seca \rho_d = \dfrac{M_s}{V} = \dfrac{G_s\rho_w V_s}{V_s(1+e)} = \dfrac{G_s\rho_w}{1+e}.
    4. Peso específico seco (ou aparente da amostra seca) \gamma_d = \rho_d g = \dfrac{G_s\gamma_w}{1+e}. Aqui \gamma_w=\rho_w g é o peso específico da água.
Portanto a fórmula que usaremos em (a) é
\gamma_d=\dfrac{G_s\,\gamma_w}{1+e}.

Passo 3

Resolvendo (a) — peso específico aparente natural (amostra seca)
Vamos aplicar a fórmula do passo anterior com os valores dados:
\gamma_d=\dfrac{G_s\,\gamma_w}{1+e}=\dfrac{2,8\cdot 9,81}{1+0,65}.
Calcule o denominador: 1+0,65=1,65.
Calcule o numerador: 2,8\cdot 9,81=27,468.
Dividindo:
\gamma_d=\dfrac{27,468}{1,65}=16,65\\ \mathrm{kN/m^3}\quad(\text{aprox.})
(Se quiser mais casas: 16,647\\ \mathrm{kN/m^3}.)
Explicação curta: como a amostra estava seca, o peso específico aparente natural é exatamente o peso específico seco \gamma_d.

Passo 4

Resolvendo (b) — encontrar w quando S=60\% com e constante, e então o peso específico úmido
Primeiro derivamos uma fórmula prática para o teor de umidade w em função de S,\,e,\,G_s:
  1. Volume de água nos vazios: V_w = S\,V_v = S\,e\,V_s.
  2. Massa de água: M_w = \rho_w V_w = \rho_w S e V_s.
  3. Massa de sólidos: M_s = \rho_s V_s = G_s\rho_w V_s.
  4. Assim
w=\dfrac{M_w}{M_s}=\dfrac{\rho_w S e V_s}{G_s\rho_w V_s}=\dfrac{S e}{G_s}.
Portanto a fórmula útil é
w=\dfrac{S e}{G_s}.
Agora substituímos S=0,60:
w=\dfrac{0,60\cdot 0,65}{2,8}=\dfrac{0,39}{2,8}=0,1393\\ (\text{aprox.}).
Expressando em porcentagem:
w\approx 13,93\%.
Agora o peso específico aparente úmido \gamma:
  • Relação entre \gamma úmido e \gamma_d: massa total por volume é M_s+M_w sobre V, o que corresponde a \gamma=\gamma_d(1+w). Então
\gamma=\gamma_d(1+w).
Usando \gamma_d do Passo 3 e w acima:
\gamma=16,65\cdot (1+0,1393)=16,65\cdot 1,1393=18,97\\ \mathrm{kN/m^3}\\ (\text{aprox.}).
(Alternativa curta para verificar: usar a fórmula direta \gamma=\gamma_w\frac{G_s+eS}{1+e}; aplicando dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Resolvendo (c) — amostra submersa com S=95\%: peso específico submerso
Primeiro calculamos o peso específico total (aparente) da amostra com S=0,95 usando a fórmula direta (é mais prática aqui):
\gamma=\gamma_w\dfrac{G_s+eS}{1+e}.
Substituindo:
\gamma=9,81\cdot\dfrac{2,8+0,65\cdot 0,95}{1,65}.
Calcule 0,65\cdot 0,95=0,6175. Então 2,8+0,6175=3,4175. Dividindo por 1,65 obtemos 2,07121\ldots. Multiplicando por 9,81
\gamma\approx 20,32\\ \mathrm{kN/m^3}.
O peso específico submerso (também chamado de peso específico aparente saturado ou peso específico eficaz em alguns contextos) é a diferença entre o peso específico total da amostra e o peso específico da água:
\gamma_{\text{sub}}=\gamma-\gamma_w.
Assim
\gamma_{\text{sub}}=20,32-9,81=10,51\\ \mathrm{kN/m^3}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação curta: submerso a água fornece empuxo igual a \gamma_w, portanto o “peso por unidade de volume” aparente diminui em \gamma_w.

Resposta

\gamma_{\text{natural}}=16,65\\ \mathrm{kN/m^3}
w=13,93\% e \gamma_{\text{úmido}}=18,97\\ \mathrm{kN/m^3}ú
\gamma_{\text{submerso}}=10,51\\ \mathrm{kN/m^3}

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