Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e , se convergir, determine o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
e estabelecer se ela converge ou diverge; se convergir, determinar o limite. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A sequência é dada explicitamente para
(presumimos , ). - A expressão envolve potências de
e uma raiz quadrada no denominador. - O objetivo é estudar o comportamento quando
.
Passo 2
Idea intuitiva (explicação didática): quando
fica muito grande, os termos de maior potência em
dominam a expressão. Aqui, no numerador temos um termo de ordem
e, dentro da raiz, o termo dominante é
. Para transformar essa intuição em cálculo rigoroso, vamos fatorar a potência dominante dentro da raiz e simplificar algebraicamente.
Passo 3
Fatoramos
dentro da raiz. Como
é natural,
e
. Então:
Passo 4
Substituindo essa expressão no
obtemos uma forma mais simples:
Essa simplificação é crucial: cancelamos
(válido porque
) e reduzimos o problema a estudar o comportamento de
quando
.
Passo 5
Estudo do termo pequeno: note que
porque
e uma constante dividida por algo que tende a infinito tende a zero. Isso é uma propriedade básica de limites de sequências: potências de
crescem sem limite, então suas recíprocas vão a zero.
Passo 6
Aplicando continuidade da função raiz quadrada: a função
é contínua para
. Como
e
é contínua em
, podemos trocar o limite e a função:
Explicando em linguagem simples: se uma sequência
tende a
e
é contínua em
, então
tende a
.
Passo 7
Com o resultado do passo anterior, retomamos
. Tomando limite em ambos os lados:
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 8
Pequeno reforço (exemplos semelhantes para fixar a ideia):
- Se
, fatoramos e obtemos . - Se
, fatoramos dentro da raiz e obtemos .
A técnica é sempre a mesma: identificar a maior potência, fatorar, simplificar e usar continuidade.