Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e , se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{4 n^{4}+5}} .

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{4 n^{4}+5}}
e estabelecer se ela converge ou diverge; se convergir, determinar o limite. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A sequência é dada explicitamente para n (presumimos n\in\mathbb{N}, n\ge1).
  • A expressão envolve potências de n e uma raiz quadrada no denominador.
  • O objetivo é estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Idea intuitiva (explicação didática): quando n fica muito grande, os termos de maior potência em n dominam a expressão. Aqui, no numerador temos um termo de ordem n^{2} e, dentro da raiz, o termo dominante é 4n^{4}. Para transformar essa intuição em cálculo rigoroso, vamos fatorar a potência dominante dentro da raiz e simplificar algebraicamente.

Passo 3

Fatoramos n^{4} dentro da raiz. Como n é natural, n^{2}\ge0 e \sqrt{n^{4}}=n^{2}. Então:
\sqrt{4n^{4}+5}=\sqrt{n^{4}\left(4+\frac{5}{n^{4}}\right)}=n^{2}\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}.

Passo 4

Substituindo essa expressão no a_{n} obtemos uma forma mais simples:
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}}=\frac{1}{\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}}.
Essa simplificação é crucial: cancelamos n^{2} (válido porque n^{2}\neq0) e reduzimos o problema a estudar o comportamento de \sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}} quando n\to\infty.

Passo 5

Estudo do termo pequeno: note que
\frac{5}{n^{4}}\to 0 \quad\text{quando}\quad n\to\infty,
porque n^{4}\to\infty e uma constante dividida por algo que tende a infinito tende a zero. Isso é uma propriedade básica de limites de sequências: potências de n crescem sem limite, então suas recíprocas vão a zero.

Passo 6

Aplicando continuidade da função raiz quadrada: a função f(x)=\sqrt{x} é contínua para x>0. Como 4+\frac{5}{n^{4}}\to 4 e f é contínua em 4, podemos trocar o limite e a função:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\left(4+\frac{5}{n^{4}}\right)}=\sqrt{4}=2.
Explicando em linguagem simples: se uma sequência x_n tende a L e f é contínua em L, então f(x_n) tende a f(L).

Passo 7

Com o resultado do passo anterior, retomamos a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}}. Tomando limite em ambos os lados:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt{4+\frac{5}{n^{4}}}}=\frac{1}{2}.
Portanto a sequência converge e seu limite é \dfrac{1}{2}.

Passo 8

Pequeno reforço (exemplos semelhantes para fixar a ideia):
  • Se b_{n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}, fatoramos n^{2} e obtemos b_{n}=1/\sqrt{1+1/n^{2}}\to 1.
  • Se c_{n}=\dfrac{n^{3}}{\sqrt{9n^{6}+1}}, fatoramos n^{6} dentro da raiz e obtemos c_{n}=1/\sqrt{9+1/n^{6}}\to 1/3.
    A técnica é sempre a mesma: identificar a maior potência, fatorar, simplificar e usar continuidade.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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