Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da curva y=\operatorname{sen}(4 x) \mathrm{em} torno do eixo x, para x entre 0 e \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da curva y=\sin(4x) em torno do eixo x, para x variando de 0 até \tfrac{\pi}{4}.
Informações dadas:
y=\sin(4x),\qquad a=0,\qquad b=\tfrac{\pi}{4},\qquad \text{e o eixo de rotação é o eixo }x.çãé

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular (sem ainda fazer contas): quando giramos uma curva y=f(x) em torno do eixo x, cada fatia fina em x gera um disco de raio y e espessura dx. O volume dessa fatia é a área do círculo vezes a espessura. Vou escrever essa ideia como fórmula — isso é o método dos discos.

Passo 3

A área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Aqui o raio do disco é r=y=\sin(4x), então a área é \pi\sin^{2}(4x). Assim o volume total é a integral da área ao longo de x de a até b. Em fórmula:
V=\int_{a}^{b} \pi \sin^{2}(4x)\,dx.
Substituindo os limites a=0 e b=\tfrac{\pi}{4}:
V=\pi\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \sin^{2}(4x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral de \sin^{2}(4x). Para integrar potências de seno, usamos a identidade de redução de potência (fórmula trigonométrica muito útil):
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aqui \theta=4x. Aplicando a identidade:
\sin^{2}(4x)=\frac{1-\cos(8x)}{2}.

Passo 5

Substituindo essa expressão na integral do volume:
V=\pi\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \frac{1-\cos(8x)}{2}\,dx.
Factorizando a constante \tfrac{1}{2}:
V=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \bigl(1-\cos(8x)\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo. A primitiva de 1 em relação a x é x. A primitiva de \cos(8x) é \tfrac{1}{8}\sin(8x), porque ao derivar \sin(8x) aparece um fator 8. Então a primitiva do integrando é
\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{8}\sin(8x)\right).
Multiplicando por \pi (lembrando que já tínhamos \tfrac{\pi}{2} fora da integral), uma forma explícita é:
V=\pi\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{16}\sin(8x)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}.

Passo 7

Agora avaliamos nos limites. Primeiro em x=\tfrac{\pi}{4}:
\frac{1}{2}\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{16}\sin\bigl(8\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\pi}{8}-\frac{1}{16}\sin(2\pi).
Sabemos que \sin(2\pi)=0, então o segundo termo é zero e ficamos com \tfrac{\pi}{8}. Em x=0 a expressão é
\frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{16}\sin(0)=0.
Portanto a diferença entre os limites é \tfrac{\pi}{8}-0=\tfrac{\pi}{8}.
Multiplicando pelo fator \pi que estava fora:
V=\pi\cdot \frac{\pi}{8}=\frac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}

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