Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da curva
torno do eixo
, para
entre 0 e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
variando de
até
.
Informações dadas:
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular (sem ainda fazer contas): quando giramos uma curva
em torno do eixo
, cada fatia fina em
gera um disco de raio
e espessura
. O volume dessa fatia é a área do círculo vezes a espessura. Vou escrever essa ideia como fórmula — isso é o método dos discos.
Passo 3
A área de um círculo de raio
é
. Aqui o raio do disco é
, então a área é
. Assim o volume total é a integral da área ao longo de
de
até
. Em fórmula:
Substituindo os limites
e
:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral de
. Para integrar potências de seno, usamos a identidade de redução de potência (fórmula trigonométrica muito útil):
Aqui
. Aplicando a identidade:
Passo 5
Substituindo essa expressão na integral do volume:
Factorizando a constante
:
Passo 6
Integramos termo a termo. A primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
é
, porque ao derivar
aparece um fator
. Então a primitiva do integrando é
Multiplicando por
(lembrando que já tínhamos
fora da integral), uma forma explícita é:
Passo 7
Agora avaliamos nos limites. Primeiro em
:
Sabemos que
, então o segundo termo é zero e ficamos com
. Em
a expressão é
Portanto a diferença entre os limites é
.
Multiplicando pelo fator
que estava fora: