Uma amostra de uraninita, um mineral contendo urânio, apresenta 0,214 g de chumbo, ^206 Pb, por grama de urânio. Supondo que todo o chumbo resulta da desintegração radioativa do urânio em uma única etapa, estime a data em que o mineral foi formado. A meia-vida do ^238 U é 4,5 times 10^9 anos.
O número de átomos de chumbo é
NP b=0,214 g times Na206 g=6,25 times 10^20 átomos, á
e o número de átomos de urânio é
NU=1 g times Na238 g=2,53 times 10^21 átomos á
Esses são os números atuais. O número inicial de átomos de urânio é
N0=NU+NP b=3,16 times 10^21 átomos á
Portanto,
& N(t)=N02^t / T1 / 2 & 2^t / T1 / 2=N0N(t) & tT1 / 2 ln 2=ln (N0 / N(t)) & tT1 / 2=ln (N0 / N(t))ln 2=ln 1,25ln 2=0,322
O tempo de formação do mineral é então
t=0,322 times T1 / 2=1,45 times 10^9 anos

Passo 1

O enunciado diz que um grama de urânio na uraninita gerou 0,214 g de ^{206}Pb por desintegração do ^{238}U. Vamos usar decaimento radioativo (meia-vida) e Avogadro para estimar a idade do mineral.

Passo 2

Para achar o número atual de átomos de Pb e de U, usamos massa molar e número de Avogadro. O número de átomos de Pb é dado por
NPb=0,214,gtimesNA206,g/mol=6,25times10^20,átomos á
De modo similar, o número atual de átomos de U é
NU=1,gtimesNA238,g/mol=2,53times10^21,átomos á

Passo 3

Como todo o Pb presente veio do U original, o número inicial de átomos de U era a soma dos que restaram e dos que viraram Pb. Assim,
N0=NU+NPb=2,53times10^21+6,25times10^20=3,16times10^21,átomos á

Passo 4

Aplicamos a lei do decaimento para um processo de meia-vida única,
N(t)=N0 cdot 2^-t/T1/2
Reescrevendo para achar t,
2^t/T1/2=N0N(t),
tT1/2=ln(N0/N(t))ln 2

Passo 5

Substituindo N_0=3,16×10^{21} e N(t)=2,53×10^{21}, temos
tT1/2=lnl(3,16/2,53r)ln 2=ln1,25ln2approx0,322
Multiplicando por T_{1/2}=4{,}5×10^9 anos, vem
t=0,322times4,5times10^9,anosapprox1,45times10^9,anos

Resposta

1,45 × 10^9 anos

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