Um material fóssil apresenta uma atividade de ^14 C de 8,1 decaimentos por minuto, por grama de carbono. Supondo que a atividade inicial seja a mesma de hoje, 15,3 decaimentos por minuto, por grama de carbono, calcule a idade do fóssil. A meia-vida do carbono-14 é 5730 anos.
Como a atividade diminuiu aproximadamente por um fator 2, a idade do fóssil é próxima da meia-vida do elemento, 5730 anos. De forma mais precisa temos
& A(t)=A02^t / T1 / 2 & 2^t / T1 / 2=A0A(t) & tT1 / 2 ln 2=ln A0A(t) & tT1 / 2=ln (A0 / A(t))ln 2=0,917 & t=0,917 T1 / 2=5257 anos

Passo 1

O problema pede para descobrir a idade de um fóssil com base na atividade de carbono-14, usando o fato de que a meia-vida desse isótopo é de 5730 anos. Hoje a atividade (inicial) é de 15,3 decaimentos/min·g, mas no fóssil ela caiu para 8,1 decaimentos/min·g; vamos usar a lei do decaimento radioativo para calcular o tempo decorrido.

Passo 2

A teoria do decaimento radioativo nos diz que a atividade A(t) de um material após tempo t satisfaz a relação da meia-vida:
A(t) = A02^t / T1/2
onde A0 é a atividade inicial, T1/2 é a meia-vida e A(t) é a atividade no tempo t.

Passo 3

Para encontrar t, isolamos o expoente. Primeiro escrevemos
2^t / T1/2 = A0A(t)
Em seguida, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(2^t / T1/2r) = lnl(A0A(t)r)
Como ln(2^x) = xln 2, fica
tT1/2 ln 2 = lnl(A0A(t)r)

Passo 4

Agora substituímos A0 = 15,3, A(t) = 8,1 e T1/2 = 5730 anos. Calculamos o logaritmo da razão:
lnl(15,38,1r) approx ln(1,8889) approx 0,6366
Dividindo por ln 2 approx 0,6931 obtemos
tT1/2 = 0,63660,6931 approx 0,9185

Passo 5

Finalmente, multiplicamos pelo valor da meia-vida para achar t:
t = 0,9185 times 5730 approx 5257 anos
Portanto, o fóssil tem cerca de 5257 anos de idade.

Resposta

5257 anos

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