Amostras de 50 peças de um processo de fabricação de peças são selecionadas para uma avaliação de qualidade. Tipicamente, 96% das peças produzidas são perfeitas. Seja X o número de peças perfeitas na amostra.
Qual a probabilidade de que o número de peças perfeitas na amostra seja inferior a 48?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: você tira uma amostra de 50 peças e cada peça tem probabilidade de 96% de ser perfeita. Chamamos de o número de peças perfeitas nessa amostra. A pergunta é: qual a probabilidade de ter menos de 48 peças perfeitas, ou seja, ?
Conteúdo da matéria: distribuição binomial. Vamos precisar saber o que é essa distribuição, usar a fórmula de probabilidade binomial e fazer uma somatória ou usar o complementar pra facilitar.

Passo 2

O que é distribuição binomial?
Quando você tem X sim Bin(n,p) tentativas independentes (aqui, P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^n-k peças) e cada tentativa tem chance de “sucesso” (a peça ser perfeita, ), o número de sucessos segue a binomial:
A fórmula pra probabilidade exata de ter exatamente sucessos é
Aqui é o número de jeitos de escolher quais saem certas em .

Passo 3

A gente quer P(X<48) ;=; 1 ;-; P(X>=48) ;=; 1 ;-; l[P(X=48)+P(X=49)+P(X=50)r] . Tecnicamente, dá pra somar de até , mas isso dá muito trabalho. Em vez disso, usamos o complemento:

Passo 4

Agora, calcula cada um:
  1. Para P(X=50) = binom5050,0.96^50,0.04^0 = 1cdot0.96^50 :
P(X=49) = binom5049,0.96^49,0.04^1 = 50cdot0.96^49cdot0.04
  1. Para P(X=48) = binom5048,0.96^48,0.04^2 = 1225cdot0.96^48cdot0.04^2 :
  1. Para :

Passo 5

Agora é só colocar números (usei uma calculadora):
  • P(X>=48)approx0.1303+0.2715+0.2774 = 0.6792
  • P(X<48) = 1 - 0.6792 = 0.3208
Somando:
Então

Resposta

A probabilidade de ter menos de 48 peças perfeitas é aproximadamente (ou 32,1%).

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