Amostras de 50 peças de um processo de fabricação de peças são selecionadas para uma avaliação de qualidade. Tipicamente, 96% das peças produzidas são perfeitas. Seja X o número de peças perfeitas na amostra.
Qual a probabilidade de X exceder sua média em mais de 3 desvios padrões?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma amostra de peças e cada peça tem probabilidade de sair perfeita. A variável conta quantas peças perfeitas aparecem na amostra. A pergunta é: qual a probabilidade de exceder sua média em mais de 3 desvios-padrão?
Conteúdo: distribuição Binomial, média e desvio‐padrão. A gente vai precisar das fórmulas da média e do desvio‐padrão , e depois ver qual valor de isso representa.

Passo 2

Como segue uma Binomial , temos:
  • Média: .
  • Variância: e desvio‐padrão .

Passo 3

Calcular a média:
.

Passo 4

Calcular o desvio‐padrão:

Passo 5

Agora o limiar é mu + 3sigma = 48 + 3 times 1,3856 approx 48 + 4,1568 = 52,1568 :
Queremos . Como só toma valores inteiros, isso equivale a .

Passo 6

Mas o máximo de peças perfeitas numa amostra de 50 é 50! Logo não há chance de P(X > mu + 3sigma) ;=; P(X >= 53) ;=; 0 chegar em 53. Então

Resposta

A probabilidade de exceder sua média em mais de 3 desvios‐padrão é .

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