O comprimento de um determinado tipo de peça é normalmente distribuído com média 2,5 cm e desvio padrão 0,5 cm.
Qual a probabilidade de o comprimento da peça superar 1,5 cm?

Passo 1

Resumo do que rolou: temos o comprimento de uma peça que segue uma Distribuição Normal com média μ = 2,5 cm e desvio-padrão σ = 0,5 cm. O que a questão pede? “Qual a probabilidade de o comprimento superar 1,5 cm?”
Conteúdo da matéria: Distribuição Normal, padronização (z-score), função de distribuição acumulada (CDF) e uso da tabela ou propriedades da Normal.
O que vamos precisar:
  • Saber que, para uma variável aleatória X ~ N(μ, σ²), P(X > a) = 1 – Φ((a–μ)/σ).
  • Calcular o z-score: z = (a–μ)/σ.
  • Consultar ou usar a simetria da tabela da Normal padrão Φ(z).

Passo 2

Entendendo a teoria:
  1. Distribuição Normal: X ~ N(μ, σ²).
  2. Função de distribuição acumulada (CDF) Φ(z) = P(Z ≤ z) para Z ~ N(0,1).
  3. Probabilidade à direita de um valor a: P(X > a) ;=; 1 - P(X <= a) ;=; 1 - Phil(tfraca - musigmar)

Passo 3

Vamos calcular o z-score para a = 1,5 cm:
z ;=; a - musigma ;=; 1,5 - 2,50,5 ;=; -1,00,5 ;=; -2,0

Passo 4

Aplicando na fórmula de probabilidade:
P(X > 1,5) = 1 - Phi(z) = 1 - Phi(-2,0)
Mas a tabela da Normal padrão costuma dar Φ(+2,0). Sabendo da simetria da Normal:
Phi(-2,0) = 1 - Phi(2,0)
Então:
P(X > 1,5) = 1 - l[1 - Phi(2,0)r] = Phi(2,0)

Passo 5

Consultando a tabela ou calculadora para Φ(2,0):
Φ(2,0) ≈ 0,9772.

Resposta

A probabilidade de o comprimento da peça superar 1,5 cm é aproximadamente 0,9772 (ou 97,72%).

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