Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
Conforme
sim não
1 22 8
Fornecedor 2 25 5
3 30 10
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e B o evento em que uma amostra atenda as especificações. Determine o número de amostras em A^{c} \cap B, B^{c} e A \cup B.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado nos deu (peguei estes números da tabela):
  • Fornecedor 1: conforme = 22, não conforme = 8.
  • Fornecedor 2: conforme = 25, não conforme = 5.
  • Fornecedor 3: conforme = 30, não conforme = 10.
  • Total de amostras = 100.
O enunciado pede os números de amostras em:
  • A^{c} \cap B,
  • B^{c},
  • A \cup B.

Passo 2

Primeiro lembranças/definições importantes (vou explicar com calma):
  • O espaço amostral tem N=100 amostras.
  • A é o evento “amostra proveniente do fornecedor 1”. O tamanho de um evento será representado por |\cdot|; por exemplo, |A| é o número de amostras de A.
  • B é o evento “amostra atende as especificações” (conforme).
  • O complemento A^{c} significa "não A" — ou seja, amostras que NÃO são do fornecedor 1.
  • A interseção A^{c}\cap B significa amostras que são conformes ( B) e, ao mesmo tempo, não são do fornecedor 1 ( A^{c}).
  • O complemento B^{c} significa amostras que NÃO atendem as especificações (não conformes).
  • A união A\cup B significa amostras que são do fornecedor 1 OU que são conformes (ou ambos).
  • Fórmula útil para a união (contagem): |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|. Essa fórmula evita contar duas vezes as amostras que estão em ambos A e B.

Passo 3

Calcular |A|, |B| e |A\cap B| a partir da tabela (cada passo com conta explícita):
  • |A| (todas as amostras do fornecedor 1) = conforme 22 + não conforme 8:
|A| = 22 + 8 = 30.
  • |B| (todas as amostras conformes) = 22 + 25 + 30:
|B| = 22 + 25 + 30 = 77.
  • |A\cap B| (fornecedor 1 e conforme) é exatamente a célula correspondente, que é 22:
|A\cap B| = 22.

Passo 4

Calcular |A^{c}\cap B|. Interpretação e cálculo passo a passo:
  • A^{c}\cap B são as amostras conformes que NÃO são do fornecedor 1.
  • Podemos obter isso tirando de todas as amostras conformes ( |B|) aquelas que são do fornecedor 1 e conformes ( |A\cap B|):
|A^{c}\cap B| = |B| - |A\cap B|.
  • Substituindo os valores:
|A^{c}\cap B| = 77 - 22 = 55.

Passo 5

Calcular |B^{c}| (número de amostras não conformes):
  • Pelo complemento, |B^{c}| = N - |B|.
  • Substituindo:
|B^{c}| = 100 - 77 = 23.

Passo 6

Calcular |A\cup B| usando a fórmula da união (com verificação alternativa):
  • Pela fórmula:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
  • Substituindo:
|A\cup B| = 30 + 77 - 22 = 85.
  • Checagem alternativa (contagem direta): todas as conformes são 77; além disso, as amostras do fornecedor 1 que não são conformes ( 8) também pertencem à união (pois são de A). Então 77 + 8 = 85, confirma o resultado.

Resposta

|A^{c}\cap B| = 55
|B^{c}| = 23
|A\cup B| = 85

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