Dada a distribuição conjunta de
e
abaixo, determine a média e a variância de:
(a)
(b) XY
(a)
(b) XY
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Passo 1
O enunciado fornece a distribuição conjunta discreta de
e
pelos valores
cuja tabela de probabilidades é (peguei estes números da tabela do enunciado):
O que o exercício pergunta:
(a) Determinar a média e a variância de .
(b) Determinar a média e a variância de .]
(a) Determinar a média e a variância de
(b) Determinar a média e a variância de
Passo 2
Plano de solução e fórmulas úteis (explicadas de forma simples):
- Para qualquer variável aleatória
, a média é e a variância é . - Para duas variáveis
, onde . - Para uma função qualquer
, a média é .
Vou calcular marginais,e então as variâncias e covariância.
Passo 3
Calcular as distribuições marginais (pegando os valores da tabela):
Agora
e
:
Observação simpática: aqui
.
Calcular
e
:
(Aqui note que
é diferente de
.)
Agora as variâncias individuais:
Para calcular exatamente, trago ao mesmo denominador
:
logo
De modo análogo,
Passo 4
Calcular
diretamente somando
(pegando os termos da tabela):
Calcular a covariância:
Colocando em denominador
:
logo
Agora a média do somatório:
E a variância do somatório usando
:
(O resultado anterior de variâncias individuais e covariância dá esse valor; se preferir, pode conferir numericamente
.)
Passo 5
Parte (b): já temos
. Para a variância de
precisamos de
:
Calculo (pegando os termos da tabela):
Então
Colocando no mesmo denominador
:
logo
Simplificando dividindo por
:
Resposta
(a)
\
(b)
\