Dada a distribuição conjunta de X e Y abaixo, determine a média e a variância de:
(a) \mathrm{X}+\mathrm{Y}
(b) XY
\mathbf{Y} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3}
\mathbf{X}
\mathbf{1} 5 / 27 1 / 27 3 / 27
\mathbf{2} 4 / 27 3 / 27 4 / 27
\mathbf{3} 2 / 27 3 / 27 2 / 27

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição conjunta discreta de X e Y pelos valores x,y\in\{1,2,3\} cuja tabela de probabilidades é (peguei estes números da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc} & y=1 & y=2 & y=3\\hline x=1 & \dfrac{5}{27} & \dfrac{1}{27} & \dfrac{3}{27}\\[6pt] x=2 & \dfrac{4}{27} & \dfrac{3}{27} & \dfrac{4}{27}\\[6pt] x=3 & \dfrac{2}{27} & \dfrac{3}{27} & \dfrac{2}{27} \end{array}
O que o exercício pergunta:
(a) Determinar a média e a variância de X+Y.
(b) Determinar a média e a variância de XY.]

Passo 2

Plano de solução e fórmulas úteis (explicadas de forma simples):
  • Para qualquer variável aleatória Z, a média é \displaystyle \mathbb{E}[Z] e a variância é \displaystyle \operatorname{Var}(Z)=\mathbb{E}[Z^2]-\big(\mathbb{E}[Z]\big)^2.
  • Para duas variáveis X,Y, \mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y], \qquad \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y),onde \displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
  • Para uma função qualquer g(X,Y), a média é \displaystyle \mathbb{E}[g(X,Y)]=\sum_{x,y} g(x,y)\,p_{X,Y}(x,y).
    Vou calcular marginais, \mathbb{E}[X],\mathbb{E}[Y],\mathbb{E}[X^2],\mathbb{E}[Y^2],\mathbb{E}[XY],\mathbb{E}[(XY)^2] e então as variâncias e covariância.

Passo 3

Calcular as distribuições marginais (pegando os valores da tabela):
\begin{aligned} p_X(1)&=\frac{5+1+3}{27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3},\\\ p_X(2)&=\frac{4+3+4}{27}=\frac{11}{27},\\\ p_X(3)&=\frac{2+3+2}{27}=\frac{7}{27}. \end{aligned} \qquad \begin{aligned} p_Y(1)&=\frac{5+4+2}{27}=\frac{11}{27},\\\ p_Y(2)&=\frac{1+3+3}{27}=\frac{7}{27},\\\ p_Y(3)&=\frac{3+4+2}{27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}. \end{aligned}
Agora \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y]:
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x) =1\cdot\frac{9}{27}+2\cdot\frac{11}{27}+3\cdot\frac{7}{27} =\frac{9+22+21}{27}=\frac{52}{27}.
\mathbb{E}[Y]=\sum_y y\,p_Y(y) =1\cdot\frac{11}{27}+2\cdot\frac{7}{27}+3\cdot\frac{9}{27} =\frac{11+14+27}{27}=\frac{52}{27}.
Observação simpática: aqui \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]=\tfrac{52}{27}.
Calcular \mathbb{E}[X^2] e \mathbb{E}[Y^2]:
\mathbb{E}[X^2]=1^2\cdot\frac{9}{27}+2^2\cdot\frac{11}{27}+3^2\cdot\frac{7}{27} =\frac{9+44+63}{27}=\frac{116}{27}.
\mathbb{E}[Y^2]=1^2\cdot\frac{11}{27}+2^2\cdot\frac{7}{27}+3^2\cdot\frac{9}{27} =\frac{11+28+81}{27}=\frac{120}{27}.
(Aqui note que \mathbb{E}[Y^2] é diferente de \mathbb{E}[X^2].)
Agora as variâncias individuais:
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2 =\frac{116}{27}-\Big(\frac{52}{27}\Big)^2.
Para calcular exatamente, trago ao mesmo denominador 729:
\frac{116}{27}=\frac{3132}{729},\qquad \Big(\frac{52}{27}\Big)^2=\frac{2704}{729},
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\operatorname{Var}(X)=\frac{3132-2704}{729}=\frac{428}{729}.
De modo análogo,
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2]-\big(\mathbb{E}[Y]\big)^2 =\frac{120}{27}-\Big(\frac{52}{27}\Big)^2 =\frac{3240-2704}{729}=\frac{536}{729}.

Passo 4

Calcular \mathbb{E}[XY] diretamente somando x y p_{X,Y}(x,y) (pegando os termos da tabela):
\begin{aligned} \mathbb{E}[XY] &=\frac{1\cdot1\cdot5 + 1\cdot2\cdot1 + 1\cdot3\cdot3}{27} +\frac{2\cdot1\cdot4 + 2\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4}{27}\\\ &\quad+\frac{3\cdot1\cdot2 + 3\cdot2\cdot3 + 3\cdot3\cdot2}{27} =\frac{16+44+42}{27}=\frac{102}{27}=\frac{34}{9}. \end{aligned}
Calcular a covariância:
\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] =\frac{102}{27}-\Big(\frac{52}{27}\Big)^2.
Colocando em denominador 729:
\frac{102}{27}=\frac{2754}{729},\qquad \Big(\frac{52}{27}\Big)^2=\frac{2704}{729},
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\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{2754-2704}{729}=\frac{50}{729}.
Agora a média do somatório:
\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]=\frac{52}{27}+\frac{52}{27}=\frac{104}{27}.
E a variância do somatório usando \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y):
\operatorname{Var}(X+Y)=\frac{428}{729}+\frac{536}{729}+2\cdot\frac{50}{729} =\frac{428+536+100}{729}=\frac{1064}{729}.
(O resultado anterior de variâncias individuais e covariância dá esse valor; se preferir, pode conferir numericamente \frac{1064}{729}\approx 1{,}459.)

Passo 5

Parte (b): já temos \mathbb{E}[XY]=\dfrac{34}{9}. Para a variância de XY precisamos de \mathbb{E}[(XY)^2]:
\mathbb{E}[(XY)^2]=\sum_{x,y} x^2 y^2\,p_{X,Y}(x,y).
Calculo (pegando os termos da tabela):
\begin{aligned} \mathbb{E}[(XY)^2] &=\frac{1^2\cdot1^2\cdot5 + 1^2\cdot2^2\cdot1 + 1^2\cdot3^2\cdot3}{27}\\\ &\quad+\frac{2^2\cdot1^2\cdot4 + 2^2\cdot2^2\cdot3 + 2^2\cdot3^2\cdot4}{27}\\\ &\quad+\frac{3^2\cdot1^2\cdot2 + 3^2\cdot2^2\cdot3 + 3^2\cdot3^2\cdot2}{27}\\[4pt] &=\frac{36+208+288}{27}=\frac{532}{27}. \end{aligned}
Então
\operatorname{Var}(XY)=\mathbb{E}[(XY)^2]-\big(\mathbb{E}[XY]\big)^2 =\frac{532}{27}-\Big(\frac{102}{27}\Big)^2.
Colocando no mesmo denominador 729:
\frac{532}{27}=\frac{14364}{729},\qquad \Big(\frac{102}{27}\Big)^2=\frac{10404}{729},
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\operatorname{Var}(XY)=\frac{14364-10404}{729}=\frac{3960}{729}.
Simplificando dividindo por 9:
\operatorname{Var}(XY)=\frac{440}{81}.]

Resposta

(a) \mathbb{E}[X+Y]=\dfrac{104}{27} \
\operatorname{Var}(X+Y)=\dfrac{1064}{729}
(b) \mathbb{E}[XY]=\dfrac{34}{9} \
\operatorname{Var}(XY)=\dfrac{440}{81}

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