Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de peixe (em toneladas) que admitimos ser uma v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{3}, & 0<x<3 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
(c) Calcule a P(X \leq 2).
(d) Encontre o intervalo que limita o 50 \% dos valores centrais das vendas.
(e) Calcule o valor esperado e a variância ( E(X) e \operatorname{Var}(X) ).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (toneladas vendidas por semana): \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 0<x<3,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
(a) Representar graficamente a função densidade f(x)\]. (b) Descrever a função de distribuição \(F(x) e representá‑la graficamente.
(c) Calcular P(X\le 2).
(d) Encontrar o intervalo que limita os 50\% dos valores centrais das vendas (intervalo central de probabilidade 0{,}50).
(e) Calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).]

Passo 2

Primeiro, entender o que é essa densidade. Uma função densidade f(x) deve satisfazer duas coisas importantes:
  • Ser não‑negativa: f(x)\ge 0 para todo x.
  • Integrar 1 em todo o eixo real: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Verificação rápida (mostrando que a função é válida):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{3}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}\big[x\big]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\cdot 3=1.
Portanto está tudo certo.
Explicação intuitiva: f(x) é constante e igual a \dfrac{1}{3} no intervalo (0,3) e zero fora. Isso é a distribuição uniforme contínua no intervalo (0,3).

Passo 3

Representação gráfica de f(x) (item a), descrição para desenhar no caderno/exame):
  • Eixo horizontal: x (toneladas).
  • Eixo vertical: f(x).
  • Para x\le 0 e x\ge 3, f(x)=0.
  • Para 0<x<3, f(x)=\dfrac{1}{3}: é um retângulo horizontal com altura \dfrac{1}{3} entre x=0 e x=3.
  • Nos pontos x=0 e x=3 a função foi dada para 0<x<3; tipicamente desenha‑se círculos abertos em (0,\tfrac{1}{3}) e (3,\tfrac{1}{3}) e a base do retângulo sobre o intervalo [0,3] (o valor nos pontos isolados não afeta probabilidades).
Portanto, o gráfico é um retângulo de altura \tfrac{1}{3} entre x=0 e x=3, zero fora.

Passo 4

Agora a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Definição e cálculo por partes:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 3, obtemos o seguinte F peça por peça:
  • Se x\le 0, então
F(x)=0.
  • Se 0<x<3, então
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{3}\,dt=\frac{1}{3}\,x=\frac{x}{3}.
  • Se x\ge 3, então
F(x)=1.
Portanto a função de distribuição é
F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x}{3}, & 0<x<3,\\[6pt] 1, & x\ge 3. \end{cases}]

Passo 5

Representação gráfica de F(x) (item b), descrição para desenhar:
  • Para x\le 0, F(x)=0 (segmento horizontal sobre o eixo x até x=0).
  • Entre x=0 e x=3, F(x)=\dfrac{x}{3}: é uma reta com inclinação \dfrac{1}{3} que vai de (0,0) a (3,1).
  • Para x\ge 3, F(x)=1 (segmento horizontal em y=1 para a direita).
  • Em x=0 tem continuidade em 0 e em x=3 atinge 1.
Desenhe uma linha reta ligando (0,0) a (3,1), com constantes horizontais antes e depois.

Passo 6

Cálculo de P(X\le 2) (item c). Pelo já obtido:
P(X\le 2)=F(2)=\frac{2}{3}.
Em valor decimal isso é 0,666\ldots (aproximadamente 0,67).

Passo 7

Intervalo que limita os 50\% dos valores centrais (item d).
Interpretação: o intervalo central de probabilidade 50\% costuma ser o intervalo entre os percentis 25\% e 75\% (ou seja, entre os quantis q_{0{,}25} e q_{0{,}75}), que contém a metade central da distribuição.
Para a nossa distribuição uniforme, a quantil q_p resolve F(q_p)=p. Como para 0< x<3 temos F(x)=x/3, então
\frac{q_p}{3}=p \quad\Rightarrow\quad q_p=3p.
Logo:
q_{0{,}25}=3\cdot 0{,}25=0{,}75, \qquad q_{0{,}75}=3\cdot 0{,}75=2{,}25.
Portanto o intervalo central de 50\% é [\,0{,}75,\;2{,}25\,]. (Observação: a mediana está em q_{0{,}5}=1{,}5, e o intervalo é simétrico em torno da mediana neste caso uniforme.)

Passo 8

Cálculo do valor esperado E(X) (item e). Definição:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aplicando à densidade dada:
E(X)=\int_{0}^{3} x\cdot\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}=\frac{3}{2}.
Em decimal, E(X)=1{,}5 toneladas.

Passo 9

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X). Fórmula conveniente:
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}.
Calcular E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{3} x^{2}\cdot\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{3}=\frac{1}{3}\cdot 9=3.
Agora
\operatorname{Var}(X)=3-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=3-\frac{9}{4}=\frac{12-9}{4}=\frac{3}{4}.
Em decimal, \operatorname{Var}(X)=0{,}75 (toneladas ao quadrado).

Passo 10

Resumo rápido (interpretação para a prova):
  • A distribuição é a Uniforme contínua em (0,3). Desenhar o retângulo da densidade e a reta da função de distribuição é suficiente para (a) e (b).
  • Para calcular probabilidades ponto a ponto usar a CDF F(x)=x/3 no intervalo.
  • Quantis para a uniforme são fáceis: q_p=3p.
  • Expectativa e variância podem ser lembradas por fórmulas da uniforme: E(X)=\dfrac{a+b}{2} e \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12} com a=0, b=3 (confirma os resultados obtidos).

Resposta

(a) Gráfico: retângulo de altura \dfrac{1}{3}\) para \(0<x<3\) e \(0\) fora desse intervalo. (b) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x}{3}, & 0<x<3,\\[6pt] 1, & x\ge 3, \end{cases} (gráfico: constante 0\] até \(x=0, reta de inclinação \tfrac{1}{3} entre (0,0) e (3,1), depois constante 1).
(c) P(X\le 2)=\dfrac{2}{3}.
(d) Intervalo central 50\%: [\,0{,}75,\;2{,}25\,].
(e) E(X)=\dfrac{3}{2}=1{,}5, \operatorname{Var}(X)=\dfrac{3}{4}=0{,}75.]

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