Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de peixe (em toneladas) que admitimos ser uma v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
(c) Calcule a P(X \leq 2).
(d) Encontre o intervalo que limita o 50 \% dos valores centrais das vendas.
(e) Calcule o valor esperado e a variância ( E(X) e \operatorname{Var}(X) ).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\) (toneladas vendidas por semana):
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 0<x<3,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
(a) Representar graficamente a função densidade f(x)\].
(b) Descrever a função de distribuição \(F(x) e representá‑la graficamente.
(c) Calcular P(X\le 2).
(d) Encontrar o intervalo que limita os 50\% dos valores centrais das vendas (intervalo central de probabilidade 0{,}50).
(e) Calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).]
Passo 2
Primeiro, entender o que é essa densidade. Uma função densidade f(x) deve satisfazer duas coisas importantes:
Ser não‑negativa: f(x)\ge 0 para todo x.
Integrar 1 em todo o eixo real: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Verificação rápida (mostrando que a função é válida):
Explicação intuitiva: f(x) é constante e igual a \dfrac{1}{3} no intervalo (0,3) e zero fora. Isso é a distribuição uniforme contínua no intervalo (0,3).
Passo 3
Representação gráfica de f(x) (item a), descrição para desenhar no caderno/exame):
Eixo horizontal: x (toneladas).
Eixo vertical: f(x).
Para x\le 0 e x\ge 3, f(x)=0.
Para 0<x<3, f(x)=\dfrac{1}{3}: é um retângulo horizontal com altura \dfrac{1}{3} entre x=0 e x=3.
Nos pontos x=0 e x=3 a função foi dada para 0<x<3; tipicamente desenha‑se círculos abertos em (0,\tfrac{1}{3}) e (3,\tfrac{1}{3}) e a base do retângulo sobre o intervalo [0,3] (o valor nos pontos isolados não afeta probabilidades).
Portanto, o gráfico é um retângulo de altura \tfrac{1}{3} entre x=0 e x=3, zero fora.
Passo 4
Agora a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Definição e cálculo por partes:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 3, obtemos o seguinte F peça por peça:
Representação gráfica de F(x) (item b), descrição para desenhar:
Para x\le 0, F(x)=0 (segmento horizontal sobre o eixo x até x=0).
Entre x=0 e x=3, F(x)=\dfrac{x}{3}: é uma reta com inclinação \dfrac{1}{3} que vai de (0,0) a (3,1).
Para x\ge 3, F(x)=1 (segmento horizontal em y=1 para a direita).
Em x=0 tem continuidade em 0 e em x=3 atinge 1.
Desenhe uma linha reta ligando (0,0) a (3,1), com constantes horizontais antes e depois.
Passo 6
Cálculo de P(X\le 2) (item c). Pelo já obtido:
P(X\le 2)=F(2)=\frac{2}{3}.
Em valor decimal isso é 0,666\ldots (aproximadamente 0,67).
Passo 7
Intervalo que limita os 50\% dos valores centrais (item d).
Interpretação: o intervalo central de probabilidade 50\% costuma ser o intervalo entre os percentis 25\% e 75\% (ou seja, entre os quantis q_{0{,}25} e q_{0{,}75}), que contém a metade central da distribuição.
Para a nossa distribuição uniforme, a quantil q_p resolve F(q_p)=p. Como para 0< x<3 temos F(x)=x/3, então
Portanto o intervalo central de 50\% é [\,0{,}75,\;2{,}25\,]. (Observação: a mediana está em q_{0{,}5}=1{,}5, e o intervalo é simétrico em torno da mediana neste caso uniforme.)
Passo 8
Cálculo do valor esperado E(X) (item e). Definição:
Em decimal, \operatorname{Var}(X)=0{,}75 (toneladas ao quadrado).
Passo 10
Resumo rápido (interpretação para a prova):
A distribuição é a Uniforme contínua em (0,3). Desenhar o retângulo da densidade e a reta da função de distribuição é suficiente para (a) e (b).
Para calcular probabilidades ponto a ponto usar a CDF F(x)=x/3 no intervalo.
Quantis para a uniforme são fáceis: q_p=3p.
Expectativa e variância podem ser lembradas por fórmulas da uniforme: E(X)=\dfrac{a+b}{2} e \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12} com a=0, b=3 (confirma os resultados obtidos).
Resposta
(a) Gráfico: retângulo de altura \dfrac{1}{3}\) para \(0<x<3\) e \(0\) fora desse intervalo.
(b) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x}{3}, & 0<x<3,\\[6pt] 1, & x\ge 3, \end{cases} (gráfico: constante 0\] até \(x=0, reta de inclinação \tfrac{1}{3} entre (0,0) e (3,1), depois constante 1).