A ampliação ou ganho de um amplificador transistorizado pode depender da temperatura. O ganho para um certo amplificador à temperatura ambiente ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) é de 30 enquanto a 55^{\circ} \mathrm{C} é de 35.2. Qual seria o ganho a 30^{\circ} \mathrm{C} se dependesse linearmente da temperatura numa faixa limitada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Ganho a \,20^\circ\mathrm{C} é \,30.
    • Ganho a \,55^\circ\mathrm{C} é \,35{,}2.
  • O que é pedido:
    • Calcular o ganho a \,30^\circ\mathrm{C}, assumindo que o ganho depende de forma linear da temperatura numa faixa limitada.

Passo 2

Entender e escrever o modelo linear que vamos usar (isso é o que significa “dependência linear”).
  • Modelo: suponho que o ganho G é uma função linear da temperatura T, isto é
G(T)=aT+b,
onde:
  • \,T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • \,G(T) é o ganho correspondente,
  • \,a é a taxa de variação do ganho por grau (a inclinação da reta),
  • \,b é o valor de ganho quando T=0^\circ\mathrm{C} (intercepto).
  • Uma reta é totalmente determinada por dois pontos; temos exatamente dois pontos \,(T_1,G_1)=(20,30) e \,(T_2,G_2)=(55,35{,}2), portanto podemos encontrar a e b.

Passo 3

Calcular a inclinação (taxa de variação) a. A fórmula da inclinação entre dois pontos é
a=\frac{G_2-G_1}{T_2-T_1}.
Substituindo os valores dados:
a=\frac{35{,}2-30}{55-20}=\frac{5{,}2}{35}.
Para facilitar a conta sem calculadora, simplifico a fração:
\frac{5{,}2}{35}=\frac{52}{350}=\frac{26}{175}.
Como decimal:
\frac{26}{175}=0{,}148571\ldots
Logo a inclinação é \,a=\dfrac{26}{175} (ou aproximadamente 0{,}148571 ganho por grau).

Passo 4

Calcular o ganho a \,30^\circ\mathrm{C}. A forma mais prática é usar a propriedade de que, numa reta, o incremento de G é a vezes o incremento de T. Assim:
G(30)=G(20)+a\cdot(30-20).
Substituindo G(20)=30 e a=\dfrac{26}{175}:
G(30)=30+\frac{26}{175}\cdot 10.
Calculo a multiplicação e a soma em forma de fração:
\frac{26}{175}\cdot 10=\frac{260}{175}=\frac{52}{35}.
Somando:
G(30)=30+\frac{52}{35}.
Colocando em denominador comum:
30=\frac{1050}{35}\quad\Rightarrow\quad G(30)=\frac{1050+52}{35}=\frac{1102}{35}.
Como decimal:
\frac{1102}{35}=31{,}485714\ldots
Arredondando a duas casas decimais (opcional, para resposta prática): 31{,}49.

Passo 5

Resumo do procedimento — visão prática para a prova:
  • Primeiro calcule a inclinação por grau: \dfrac{\Delta G}{\Delta T}.
  • Multiplique essa inclinação pelo desvio de temperatura ( 30-20=10) e some ao ganho conhecido em 20^\circ\mathrm{C}.
  • Se quiser evitar decimais, trabalhe com frações (como fizemos) e só converta no final.
Força aí — com esse passo a passo você aplica rapidamente a interpolação linear na prova.

Resposta

\dfrac{1102}{35}\approx 31{,}485714\\ (\text{aprox. }31{,}49)

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