Um tubo vertical, de altura L e coeficiente de dilatação \alpha_{T}, é preenchido até a metade com um determinado líquido \left(\alpha_{L}\right). Qual a altura final da coluna de líquido quando a temperatura do sistema for alterada de \Delta T ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Tubo vertical de altura L.
    • Coeficiente de dilatação do material do tubo: \alpha_{T}. (Aqui \alpha_{T} é o coeficiente linear de dilatação do material do tubo.)
    • O tubo está preenchido até a metade com um líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é \alpha_{L}.
    • A temperatura do sistema varia de \Delta T.
  • O que o enunciado pede:
    • A altura final da coluna de líquido após a mudança de temperatura \Delta T.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais — vou explicar devagar e com exemplos, para você conseguir reproduzir na prova.
  1. Dilatação linear de um sólido (tubo): quando um material sofre uma variação de temperatura \Delta T, um comprimento L passa a valer
L_{\text{final}} = L\,(1+\alpha_{T}\Delta T),
onde \alpha_{T} é o coeficiente linear de dilatação. A variação de comprimento é \Delta L=L\alpha_{T}\Delta T.
  1. Dilatação volumétrica de um líquido: para um volume inicial V de líquido,
V_{\text{final}} = V\,(1+\alpha_{L}\Delta T),
onde \alpha_{L} é o coeficiente volumétrico do líquido (às vezes chamado \beta); a variação de volume é \Delta V=V\alpha_{L}\Delta T.
  1. Relação entre dilatação linear e área: se um objeto aumenta de comprimento em fator (1+\alpha_{T}\Delta T) nas direções lineares, a área transversal (produto de duas dimensões lineares) muda pelo fator
(1+\alpha_{T}\Delta T)^2.
Para pequenas variações de temperatura costuma-se aproximar esta área por 1+2\alpha_{T}\Delta T, mas aqui podemos usar a expressão exata (1+\alpha_{T}\Delta T)^2.
Esses são os ingredientes: o volume do líquido muda (por \alpha_{L}) e a área interna do tubo muda (por \alpha_{T}); a altura final será o volume final dividido pela nova área.

Passo 3

Definir as quantidades iniciais e símbolos:
  • Seja A_{0} a área transversal interna inicial do tubo.
  • A altura inicial da coluna de líquido é metade do tubo:
h_{0}=\frac{L}{2}.
  • Volume inicial do líquido:
V_{0}=A_{0}\,h_{0}=A_{0}\,\frac{L}{2}.

Passo 4

Volume do líquido após a variação de temperatura \Delta T.
Usando a fórmula da dilatação volumétrica do líquido:
V_{\text{líq, final}}=V_{0}\,(1+\alpha_{L}\Delta T).í
Substituindo V_{0}:
V_{\text{líq, final}}=A_{0}\,\frac{L}{2}\,(1+\alpha_{L}\Delta T).í

Passo 5

Área interna do tubo após a variação de temperatura \Delta T.
A área transversal final é obtida multiplicando A_{0} pelo fator (1+\alpha_{T}\Delta T)^2, pois tanto a dimensão radial quanto a outra dimensão transversal crescem pelo mesmo fator linear:
A_{\text{final}}=A_{0}\,(1+\alpha_{T}\Delta T)^2.

Passo 6

Altura final da coluna: volume final dividido pela área final.
A altura final h satisfaz
h=\frac{V_{\text{líq, final}}}{A_{\text{final}}} =\frac{A_{0}\,\dfrac{L}{2}\,(1+\alpha_{L}\Delta T)}{A_{0}\,(1+\alpha_{T}\Delta T)^2}.í
Corta A_{0} e fica
h=\frac{L}{2}\,\frac{1+\alpha_{L}\Delta T}{(1+\alpha_{T}\Delta T)^2}.
Essa é a expressão exata (dentro do modelo de dilatações homogêneas e sem perda de líquido).

Passo 7

Forma aproximada para pequenas variações de temperatura (útil na prova quando \Delta T é pequeno):
Usa-se a expansão de Taylor (1+\alpha_{T}\Delta T)^{-2}\approx 1-2\alpha_{T}\Delta T para termos lineares em \Delta T. Multiplicando,
h \approx \frac{L}{2}\,(1+\alpha_{L}\Delta T)(1-2\alpha_{T}\Delta T).
Mantendo apenas termos até ordem \Delta T,
h \approx \frac{L}{2}\left(1+(\alpha_{L}-2\alpha_{T})\Delta T\right).
Essa versão linearizada é muito usada em cálculos rápidos na prova.

Resposta

h=\frac{L}{2}\,\frac{1+\alpha_{L}\Delta T}{\left(1+\alpha_{T}\Delta T\right)^{2}}
h\approx\frac{L}{2}\left(1+(\alpha_{L}-2\alpha_{T})\Delta T\right)

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