Um tubo vertical, de altura
e coeficiente de dilatação
, é preenchido até a metade com um determinado líquido
. Qual a altura final da coluna de líquido quando a temperatura do sistema for alterada de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados fornecidos:
- Tubo vertical de altura
. - Coeficiente de dilatação do material do tubo:
. (Aqui é o coeficiente linear de dilatação do material do tubo.) - O tubo está preenchido até a metade com um líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é
. - A temperatura do sistema varia de
.
- Tubo vertical de altura
- O que o enunciado pede:
- A altura final da coluna de líquido após a mudança de temperatura
.
- A altura final da coluna de líquido após a mudança de temperatura
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais — vou explicar devagar e com exemplos, para você conseguir reproduzir na prova.
- Dilatação linear de um sólido (tubo): quando um material sofre uma variação de temperatura
, um comprimento passa a valer
onde
é o coeficiente linear de dilatação. A variação de comprimento é
.
- Dilatação volumétrica de um líquido: para um volume inicial
de líquido,
onde
é o coeficiente volumétrico do líquido (às vezes chamado
); a variação de volume é
.
- Relação entre dilatação linear e área: se um objeto aumenta de comprimento em fator
nas direções lineares, a área transversal (produto de duas dimensões lineares) muda pelo fator
Para pequenas variações de temperatura costuma-se aproximar esta área por
, mas aqui podemos usar a expressão exata
.
Esses são os ingredientes: o volume do líquido muda (por
) e a área interna do tubo muda (por
); a altura final será o volume final dividido pela nova área.
Passo 3
Definir as quantidades iniciais e símbolos:
- Seja
a área transversal interna inicial do tubo. - A altura inicial da coluna de líquido é metade do tubo:
- Volume inicial do líquido:
Passo 4
Volume do líquido após a variação de temperatura
.
Usando a fórmula da dilatação volumétrica do líquido:
Substituindo
:
Passo 5
Área interna do tubo após a variação de temperatura
.
A área transversal final é obtida multiplicando
pelo fator
, pois tanto a dimensão radial quanto a outra dimensão transversal crescem pelo mesmo fator linear:
Passo 6
Altura final da coluna: volume final dividido pela área final.
A altura final
satisfaz
Corta
e fica
Essa é a expressão exata (dentro do modelo de dilatações homogêneas e sem perda de líquido).
Passo 7
Forma aproximada para pequenas variações de temperatura (útil na prova quando
é pequeno):
Usa-se a expansão de Taylor
para termos lineares em
. Multiplicando,
Mantendo apenas termos até ordem
,
Essa versão linearizada é muito usada em cálculos rápidos na prova.