Em vez de definir a temperatura t como função linear de uma certa propriedade X, podemos definí-la como uma função logarítmica da forma t^{\prime}=A \log X+B, onde A e B são constantes. Considere t^{\prime}=0^{\mathrm{o}} no ponto do gelo e t^{\prime}=100^{\mathrm{o}} no ponto de vapor. Calcule A e B. Considere X o comprimento da coluna líquida de um termômetro de mercúrio e tome como referência X_{i}=6 \mathrm{~cm} \mathrm{e} t_{i}^{\prime}=0^{\circ}, X_{f}=36 \mathrm{~cm} \mathrm{e} t_{f}^{\prime}=100^{\circ}.
Ache as distâncias (em c m ) entre os pontos t^{\prime}=0^{\circ} e t^{\prime}=10^{\circ} e entre t^{\prime}=90^{\circ} e t^{\prime}=100^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá uma lei logarítmica para a escala de temperatura t' em função do comprimento da coluna líquida X:
t' = A \log X + B,
onde A e B são constantes a determinar. Foram dadas duas condições (peguei estes valores do enunciado):
  • no ponto do gelo: t' = 0^\circ quando X = 6\\ \text{cm};
  • no ponto do vapor: t' = 100^\circ quando X = 36\\ \text{cm}.
O que o problema pede:
  • calcular as constantes A e B;
  • achar a distância (em cm) entre os pontos t'=0^\circ e t'=10^\circ;
  • achar a distância (em cm) entre os pontos t'=90^\circ e t'=100^\circ.
Observação: a notação \log não especifica a base; para trabalhar com propriedades logarítmicas de forma direta vou usar o logaritmo natural e escrever \ln. A escolha da base não altera a validade do modelo, apenas muda o valor numérico de A (que se ajusta), e é comum e conveniente usar \ln.

Passo 2

Vamos substituir os dois pontos na fórmula para montar um sistema linear em A e B.
Para X=6\\ \text{cm} e t'=0^\circ:
0 = A \ln 6 + B.
Para X=36\\ \text{cm} e t'=100^\circ:
100 = A \ln 36 + B.
Agora explico o que cada símbolo significa:
  • A é a sensibilidade da escala em unidades de \,^\circ/(unidade de \ln X);
  • B é o deslocamento (em ^{\circ});
  • \ln X é o logaritmo natural de X (unidade: sem unidade, porque é um logaritmo de uma razão).
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar B:
100 - 0 = A(\ln 36 - \ln 6).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) e \ln 36 - \ln 6 = \ln\!\left(\dfrac{36}{6}\right) = \ln 6, obtemos:
100 = A \ln 6.
Portanto:
A = \dfrac{100}{\ln 6}.
Voltando à primeira equação 0 = A\ln 6 + B, substituindo A\ln 6 = 100, temos
0 = 100 + B \quad\Rightarrow\quad B = -100.
Observação bonita: aqui B resulta exatamente -100 porque escolhemos X=6 como referência onde t'=0 e a diferença entre os pontos faz A\ln6=100.

Passo 3

Resumindo as constantes (forma simbólica):
A = \dfrac{100}{\ln 6},\qquad B = -100.
Agora quero obter explicitamente X como função de t' para poder calcular distâncias entre dois isótermos. Partindo de
t' = A \ln X + B,
isolamos \ln X:
\ln X = \dfrac{t' - B}{A}.
Substituindo os valores de A e B e simplificando: como B=-100 e A=\dfrac{100}{\ln 6},
\ln X = \dfrac{t' + 100}{100}\,\ln 6.
Aplicando exponencial aos dois lados:
X = \exp\!\left(\frac{t'+100}{100}\ln 6\right).
Usando a identidade \exp(c\ln 6)=6^{c}, isso fica muito simples:
X = 6^{\frac{t'+100}{100}}.
Essa expressão é prática: para qualquer temperatura t' na escala proposta, o comprimento correspondente é X(t') = 6^{(t'+100)/100} cm. Verificação rápida: para t'=0 6^{1}=6 cm; para t'=100 6^{2}=36 cm.

Passo 4

Calcular a distância entre t'=0^\circ e t'=10^\circ. Primeiro obtenho os X correspondentes:
Para t'=0^\circ:
X(0)=6^{\frac{0+100}{100}}=6^{1}=6\\ \text{cm}.
Para t'=10^\circ:
X(10)=6^{\frac{10+100}{100}}=6^{1{,}1}.
A distância pedida é
\Delta_1 = X(10)-X(0)=6^{1{,}1}-6.
Agora calculo numericamente. Usando \ln 6 \approx 1{,}791759469 temos
6^{1{,}1}=e^{1{,}1\ln 6}=e^{0{,}1\cdot(1{,}1\ln 6)+\ln6} \quad\text{(mas podemos calcular direto)}.
Numericamente:
6^{1{,}1}\approx 7{,}177418\\ \text{cm},
logo
\Delta_1 \approx 7{,}177418 - 6 = 1{,}177418\\ \text{cm}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta_1 \approx 1{,}177\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a distância entre t'=90^\circ e t'=100^\circ.
Para t'=90^\circ:
X(90)=6^{\frac{90+100}{100}}=6^{1{,}9}.
Para t'=100^\circ:
X(100)=6^{\frac{100+100}{100}}=6^{2}=36\\ \text{cm}.
A distância pedida é
\Delta_2 = X(100)-X(90)=36-6^{1{,}9}.
Calculo numérico:
6^{1{,}9}\approx 30{,}084237\\ \text{cm},
portanto
\Delta_2 \approx 36 - 30{,}084237 = 5{,}915763\\ \text{cm}.
Arredondando:
\Delta_2 \approx 5{,}916\\ \text{cm}.

Resposta

A=\dfrac{100}{\ln 6}\approx 55{,}819
B=-100
Distância entre t'=0^\circ e t'=10^\circ: \approx 1{,}177\\ \text{cm}
Distância entre t'=90^\circ e t'=100^\circ: \approx 5{,}916\\ \text{cm}

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