Em vez de definir a temperatura
como função linear de uma certa propriedade
, podemos definí-la como uma função logarítmica da forma
, onde
e
são constantes. Considere
no ponto do gelo e
no ponto de vapor. Calcule
e
. Considere
o comprimento da coluna líquida de um termômetro de mercúrio e tome como referência
,
.
Ache as distâncias (em
) entre os pontos
e
e entre
e
.
Ache as distâncias (em
Passo 1
O enunciado dá uma lei logarítmica para a escala de temperatura
em função do comprimento da coluna líquida
:
onde
e
são constantes a determinar. Foram dadas duas condições (peguei estes valores do enunciado):
- no ponto do gelo:
quando ; - no ponto do vapor:
quando .
O que o problema pede:
- calcular as constantes
e ; - achar a distância (em cm) entre os pontos
e ; - achar a distância (em cm) entre os pontos
e .
Observação: a notação
não especifica a base; para trabalhar com propriedades logarítmicas de forma direta vou usar o logaritmo natural e escrever
. A escolha da base não altera a validade do modelo, apenas muda o valor numérico de
(que se ajusta), e é comum e conveniente usar
.
Passo 2
Vamos substituir os dois pontos na fórmula para montar um sistema linear em
e
.
Para
e
:
Para
e
:
Agora explico o que cada símbolo significa:
-
é a sensibilidade da escala em unidades de /(unidade de ); -
é o deslocamento (em ); -
é o logaritmo natural de (unidade: sem unidade, porque é um logaritmo de uma razão).
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Usando a propriedade dos logaritmos
e
, obtemos:
Portanto:
Voltando à primeira equação
, substituindo
, temos
Observação bonita: aqui
resulta exatamente
porque escolhemos
como referência onde
e a diferença entre os pontos faz
.
Passo 3
Resumindo as constantes (forma simbólica):
Agora quero obter explicitamente
como função de
para poder calcular distâncias entre dois isótermos. Partindo de
isolamos
:
Substituindo os valores de
e
e simplificando: como
e
,
Aplicando exponencial aos dois lados:
Usando a identidade
, isso fica muito simples:
Essa expressão é prática: para qualquer temperatura
na escala proposta, o comprimento correspondente é
cm. Verificação rápida: para
dá
cm; para
dá
cm.
Passo 4
Calcular a distância entre
e
. Primeiro obtenho os
correspondentes:
Para
:
Para
:
A distância pedida é
Agora calculo numericamente. Usando
temos
Numericamente:
logo
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular a distância entre
e
.
Para
:
Para
:
A distância pedida é
Calculo numérico:
portanto
Arredondando:
Resposta
Distância entre
e
:
Distância entre e
:
Distância entre