Para um amplificador diferencial com R1 =\mathrm{R} 3=10 \mathrm{k} \Omega, \mathrm{R} 2=\mathrm{R} 4=100 \mathrm{k} \Omega, \mathrm{V} 1=0,2 \mathrm{Ve} \mathrm{V} 2=0,8 \mathrm{~V}, determine o ganho diferencial e a tensão de saída.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do circuito:
    • R_1 = R_3 = 10\\ \mathrm{k}\Omega.
    • R_2 = R_4 = 100\\ \mathrm{k}\Omega.
    • V_1 = 0,2\\ \mathrm{V}.
    • V_2 = 0,8\\ \mathrm{V}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o ganho diferencial (ou seja, o ganho para o sinal V_2 - V_1).
    2. Determinar a tensão de saída V_{\text{out}}.

Passo 2

Explicando o circuito e as hipóteses que usaremos (isso é importante para montar as contas).
  • Trata-se do amplificador diferencial clássico com quatro resistores ligado a um amplificador operacional ideal.
  • Hipóteses do amplificador operacional ideal que usamos:
    • Corrente de entrada é nula (não entra corrente nos terminais + e −).
    • Em malha linear e com realimentação negativa, as tensões nos terminais de entrada são iguais: V_{+}=V_{-} (chamado de “short virtual”).
  • Denotando V_{+} a tensão no terminal não inversor e V_{-} a tensão no terminal inversor, usaremos essas duas propriedades para relacionar V_{\text{out}} com V_1 e V_2.

Passo 3

Calcular V_{+} (tensão no terminal não inversor) a partir do divisor formado por R_3 e R_4.
  • O terminal não inversor está ligado a V_2 por R_3 e a terra por R_4, portanto a tensão V_{+} é a saída do divisor:
V_{+}=\frac{R_4}{R_3+R_4}\,V_2.
  • Como V_{+}=V_{-} (virtual short), teremos V_{-}=\dfrac{R_4}{R_3+R_4}\,V_2.

Passo 4

Escrever a equação nodal no nó do terminal inversor (onde se encontram R_1 ligado a V_1, R_2 ligado a V_{\text{out}} e o próprio nó V_{-}). Como não entra corrente no terminal do op-amp, a soma das correntes pelos dois resistores é zero:
\frac{V_{-}-V_1}{R_1}+\frac{V_{-}-V_{\text{out}}}{R_2}=0.
Resolver essa equação para V_{\text{out}}:
  • Reescrevendo:
\frac{V_{-}-V_1}{R_1}=\frac{V_{\text{out}}-V_{-}}{R_2}.
  • Multiplicando ambos os lados por R_2:
\frac{R_2}{R_1}(V_{-}-V_1)=V_{\text{out}}-V_{-}.
  • Portanto:
V_{\text{out}}=V_{-}+\frac{R_2}{R_1}(V_{-}-V_1).

Passo 5

Substituir V_{-}=V_{+}=\dfrac{R_4}{R_3+R_4}V_2 na expressão de V_{\text{out}} obtida no passo anterior:
V_{\text{out}}=\frac{R_4}{R_3+R_4}V_2+\frac{R_2}{R_1}\!\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}V_2-V_1\right).
Agrupando termos em V_2 e V_1:
V_{\text{out}}=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\frac{R_4}{R_3+R_4}V_2-\frac{R_2}{R_1}V_1.

Passo 6

Condição para obter um ganho puramente diferencial e expressão simplificada.
  • Para que V_{\text{out}} fique na forma proporcional apenas a V_2-V_1 (ou seja, para eliminar ganho extra sobre V_2), precisamos que
\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\frac{R_4}{R_3+R_4}=\frac{R_2}{R_1}.
  • Resolvendo essa condição dá a relação necessária entre os resistores:
\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_4}{R_3}.
  • No caso dado temos R_1=R_3 e R_2=R_4, portanto a condição é satisfeita. Logo o circuito reduz-se à forma clássica:
V_{\text{out}}=\frac{R_2}{R_1}\,(V_2-V_1).
  • Definimos o ganho diferencial A_d como
A_d=\frac{V_{\text{out}}}{V_2-V_1}=\frac{R_2}{R_1}.

Passo 7

Calcular numericamente o ganho diferencial e a saída usando os valores fornecidos.
  • Ganho diferencial:
A_d=\frac{R_2}{R_1}=\frac{100\\ \mathrm{k}\Omega}{10\\ \mathrm{k}\Omega}=10.
  • Diferença de entradas:
V_2-V_1=0,8\\ \mathrm{V}-0,2\\ \mathrm{V}=0,6\\ \mathrm{V}.
  • Tensão de saída:
V_{\text{out}}=A_d\,(V_2-V_1)=10\cdot 0,6\\ \mathrm{V}=6\\ \mathrm{V}.

Resposta

Ganho diferencial A_d = 10
Tensão de saída V_{\text{out}} = 6\\ \mathrm{V}

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