A amplitude da intensidade de campo elétrico no interior de um líquido é de 10,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e as constantes são \mu_{\mathrm{r}}=1, \varepsilon_{\mathrm{r}}=20 e \sigma=0,500 \mathrm{~S}. Determine a amplitude da intensidade de campo elétrico a uma distância de 10 cm dentro do material para frequências de
5 MHz ;

Passo 1

  • Dados fornecidos:
    \displaystyle E(0)=10{,}0\\ \mathrm{V/m} (amplitude no início do meio),
    \displaystyle \mu_r=1,
    \displaystyle \varepsilon_r=20,
    \displaystyle \sigma=0{,}500\\ \mathrm{S/m},
    distância pedida \displaystyle x=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m},
    frequência pedida \displaystyle f=5{,}0\\ \mathrm{MHz}=5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
  • O que o problema pede: determinar a amplitude da intensidade de campo elétrico a \displaystyle x=0{,}10\\ \mathrm{m} dentro do material para \displaystyle f=5{,}0\\ \mathrm{MHz}.

Passo 2

  • Conceito físico e fórmula que vamos usar: num meio condutor-dielétrico homogéneo a onda eletromagnética decai exponencialmente com a distância segundo
E(x)=E(0)\,e^{-\alpha x},
onde \displaystyle \alpha é a constante de atenuação (em \mathrm{Np/m}). Para um meio com \displaystyle \mu, \displaystyle \varepsilon e \displaystyle \sigma a constante de propagação complexa é
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)},
com \displaystyle \omega=2\pi f, \displaystyle \mu=\mu_0\mu_r e \displaystyle \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r. Aqui \alpha é a parte real de \gamma e é a que determina a atenuação da amplitude.
  • Explicação didática curta: \omega\varepsilon tem unidades de condutividade efetiva (S/m). Se \displaystyle \sigma\gg\omega\varepsilon o material comporta-se como um bom condutor e existe uma aproximação simples para \alpha. Se \displaystyle \sigma for muito pequeno comparado a \omega\varepsilon, teríamos um dielétrico quase sem perdas e outra fórmula seria usada. Aqui vamos calcular a razão para decidir.

Passo 3

  • Calcular os parâmetros numéricos básicos: \omega=2\pi f=2\pi\cdot 5{,}0\times10^{6}=31\,415\,926{,}54\\ \mathrm{rad/s}.
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=8{,}8541878\times10^{-12}\cdot 20 =1{,}770\,83756\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
\mu=\mu_0\mu_r=4\pi\times10^{-7}\cdot 1 =1{,}256\,63706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Calcular \omega\varepsilon e comparar com \sigma: \omega\varepsilon=(31\,415\,926{,}54)\cdot(1{,}770\,83756\times10^{-10}) \approx 0{,}005561\\ \mathrm{S/m}.
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{0{,}500}{0{,}005561}\approx 89{,}9\gg 1.
Conclusão: \displaystyle \sigma\gg\omega\varepsilon, logo o meio está no regime de “bom condutor” para esta frequência e podemos usar a aproximação conhecida para \gamma.

Passo 4

  • Aproximação para bom condutor: quando \sigma\gg\omega\varepsilon tem-se
\gamma\approx\sqrt{j\omega\mu\sigma}=\sqrt{\omega\mu\sigma}\,\sqrt{j}.
Como \displaystyle \sqrt{j}=\frac{1+j}{\sqrt{2}} segue que
\gamma\approx\frac{1+j}{\sqrt{2}}\sqrt{\omega\mu\sigma},
portanto
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
  • Usando \omega=2\pi f podemos reescrever
\alpha\approx\sqrt{\pi f\mu\sigma}.

Passo 5

  • Calcular numericamente \alpha: \alpha\approx\sqrt{\pi f\mu\sigma} =\sqrt{\pi\cdot 5{,}0\times10^{6}\cdot(1{,}256\,63706\times10^{-6})\cdot 0{,}500}.Façamos as contas passo a passo: \mu\cdot\sigma=1{,}256\,63706\times10^{-6}\cdot 0{,}500 =6{,}283\,1853\times10^{-7}.
f\cdot(\mu\sigma)=5{,}0\times10^{6}\cdot 6{,}283\,1853\times10^{-7}=3{,}141\,59265.
\pi\cdot f\mu\sigma=\pi\cdot 3{,}141\,59265\approx 9{,}869\,6044.
\alpha\approx\sqrt{9{,}869\,6044}=3{,}141\,59265\\ \mathrm{Np/m}\\ (\text{ou seja }\alpha\approx\pi).

Passo 6

  • Calcular atenuação na distância \displaystyle x=0{,}10\\ \mathrm{m}: \alpha x=3{,}141\,59265\cdot 0{,}10=0{,}314\,159\,265.
e^{-\alpha x}=e^{-0{,}314\,159\,265}\approx 0{,}730\,4.
  • Então a amplitude em x=0{,}10\\ \mathrm{m} é E(0{,}10)=E(0)\,e^{-\alpha x}=10{,}0\cdot 0{,}730\,4\approx 7{,}304\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

  • Arredondamento e interpretação: com os dados fornecidos (três algarismos significativos em E(0)), reportamos a amplitude com duas casas decimais: E(0{,}10)\approx 7{,}30\\ \mathrm{V/m}.
  • Observação final rápida: a aproximação usada ( \alpha\approx\sqrt{\pi f\mu\sigma}) é válida porque \sigma/(\omega\varepsilon)\approx 90\gg1. Se \sigma fosse da mesma ordem de \omega\varepsilon teríamos que usar a expressão exata para \gamma.

Resposta

7{,}30\\ \mathrm{V/m}

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