Em um meio parcialmente condutor, \varepsilon_{\mathrm{r}}=18,5, \mu_{\mathrm{r}}=800 e \sigma=1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Encontre \alpha, \beta, \eta e a velocidade de propagação u_{\mathrm{p}} para uma frequência de 1 GHz . Determine \mathrm{h}^{\prime}(z ; t), dado \mathrm{e}^{\prime}(z ; t)=50,0 \mathrm{e}^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z) \mathrm{a}^{\prime}{ }_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá um meio parcialmente condutor com as propriedades:
\varepsilon_{\mathrm{r}}=18{,}5,\qquad \mu_{\mathrm{r}}=800,\qquad \sigma=1\\ \mathrm{S/m},
e pede para a frequência \,f=1\\ \mathrm{GHz}:
  • encontrar a constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta, ou seja \alpha e \beta;
  • encontrar a impedância intrínseca \eta;
  • encontrar a velocidade de fase u_{\mathrm{p}};
  • determinar \mathbf{h}'(z;t) sabendo que
\mathbf{e}'(z;t)=50{,}0\,e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}'_y\\ \mathrm{V/m}.
Informações úteis que já temos (do enunciado ou constantes físicas):
\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \qquad f=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
A partir daqui passo a passo vamos calcular tudo e explicar as fórmulas usadas.

Passo 2

Primeiro transformamos as grandezas relativas em valores absolutos e calculamos \omega.
Definições e significado:
  • \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0 é a permissividade do meio (F/m).
  • \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0 é a permeabilidade do meio (H/m).
  • \omega=2\pi f é a frequência angular (rad/s).
Cálculos:
\varepsilon=\;18{,}5\cdot 8{,}854\times10^{-12}=1{,}63799\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m},
\mu=\;800\cdot 4\pi\times10^{-7}=800\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}=1{,}00530965\times10^{-3}\\ \mathrm{H/m},
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 1\times10^{9}=6{,}283185307\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Explanação rápida: usei \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 e \mu=\mu_r\mu_0. A frequência angular aparece porque nas fórmulas eletromagnéticas a dependência temporal é e^{j\omega t}.

Passo 3

Vamos formar os termos que aparecem na expressão da constante de propagação e da impedância:
Definições:
\sigma+j\omega\varepsilon \quad\text{(condutividade complexa efetiva, em S/m)},
j\omega\mu \quad\text{(fator no numerador das expressões)}.õ
Cálculo numérico:
\omega\varepsilon=6{,}283185307\times10^{9}\cdot 1{,}63799\times10^{-10}=1{,}02917947\\ \mathrm{(s^{-1}\cdot F/m)=S/m}.
Logo
\sigma+j\omega\varepsilon=1 + j\,1{,}02917947.
E
j\omega\mu = j\cdot 6{,}31654685\times10^{6},
onde \omega\mu=6{,}31654685\times10^{6}.
Observação didática: \omega\varepsilon tem mesma unidade de \sigma (S/m), por isso somamos \sigma + j\omega\varepsilon.

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão para a constante de propagação em meios dissipativos:
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)}.
Explicação: essa raiz quadrada é complexa; o resultado tem parte real \alpha (atenuação em Np/m) e parte imaginária \beta (constante de fase em rad/m).
Compute o produto interno primeiro:
A=j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)= -\omega\mu\,\omega\varepsilon + j\,\omega\mu.
Numéricamente:
\omega\mu\,\omega\varepsilon \approx 6{,}31654685\times10^{6}\cdot 1{,}02917947 = 6{,}50085985\times10^{6},
portanto
A \approx -6{,}50085985\times10^{6} + j\,6{,}31654685\times10^{6}.
Para extrair a raiz quadrada de A fazemos isto de forma prática:
  1. calcule o módulo |A|=\sqrt{a^2+b^2},
  2. calcule o argumento \varphi=\arg(A)=\operatorname{atan2}(b,a),
  3. então \sqrt{A}=\sqrt{|A|}\,e^{j\varphi/2}.
Cálculos:
|A|\approx 9{,}066\times10^{6},\qquad \varphi\approx 2{,}3720\\ \mathrm{rad}.
Logo
|\gamma|=\sqrt{|A|}\approx 3{,}011{,}0\times10^{3}, \qquad \frac{\varphi}{2}\approx 1{,}1860\\ \mathrm{rad}.
Finalmente
\alpha=\Re(\gamma)=|\gamma|\cos\left(\tfrac{\varphi}{2}\right)\approx 1{,}130{,}9\\ \mathrm{Np/m},
\beta=\Im(\gamma)=|\gamma|\sin\left(\tfrac{\varphi}{2}\right)\approx 2{,}791{,}9\\ \mathrm{rad/m}.
Breve interpretação: \alpha diz quanto a amplitude decai por metro (Np/m); \beta dá quantos radianos de fase são acumulados por metro.

Passo 5

Calculamos a impedância intrínseca do meio. Fórmula:
\eta=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
Mas é frequentemente mais prático usar a relação com \gamma:
\eta=\dfrac{j\omega\mu}{\gamma}.
Explicação: provém das definições \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} e \eta=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}, multiplicando-as obtém-se \eta\gamma=j\omega\mu.
Usando \gamma=\alpha+j\beta e j\omega\mu=A_j (onde A_j=j\omega\mu), fazemos a divisão em forma complexa:
\eta=\dfrac{j\omega\mu}{\alpha+j\beta}=\dfrac{A\beta + j A\alpha}{\alpha^2+\beta^2}.
Substituindo valores numéricos (com A=\omega\mu):
\eta\approx 1943{,}85 + j\,787{,}31\\ \Omega.
É útil também colocar em forma módulo e fase:
|\eta|\approx 2098{,}9\\ \Omega,\qquad \angle\eta\approx 0{,}384\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 22{,}0^\circ).
Interpretação: a impedância é complexa porque o meio é dissipativo; a parte imaginária traduz defasagem entre \mathbf{E} e \mathbf{H}.

Passo 6

Calculamos a velocidade de fase u_{\mathrm{p}}. Fórmula:
u_{\mathrm{p}}=\dfrac{\omega}{\beta}.
Substituindo os valores:
u_{\mathrm{p}}=\dfrac{6{,}283185307\times10^{9}}{2{,}791{,}9}\approx 2{,}251\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: essa velocidade é muito menor que a velocidade da luz no vácuo porque \mu_r e \varepsilon_r são grandes e o meio é condutor parcial.

Passo 7

Agora determinar \mathbf{h}'(z;t) a partir de \mathbf{e}'(z;t).
Método (explicação física e matemática):
  • Para uma onda plana que se propaga na direção +z com campo elétrico ao longo de y (isto é \mathbf{e}\parallel\mathbf{a}_y), o campo magnético phasor \tilde{\mathbf{H}} relaciona-se com o phasor elétrico \tilde{\mathbf{E}} por
\tilde{\mathbf{H}}=\dfrac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\tilde{\mathbf{E}},
onde \hat{k} é o versor de propagação (aqui \hat{k}=\mathbf{a}_z); a regra do produto vetorial dá então a direção de \tilde{\mathbf{H}}.
  • No domínio do tempo real, se \mathbf{e}'(z;t)=\Re\{\tilde{\mathbf{E}}(z)e^{j\omega t}\}, então \mathbf{h}'(z;t)=\Re\{\tilde{\mathbf{H}}(z)e^{j\omega t}\}.
Construção do phasor \tilde{\mathbf{E}}:
A expressão temporal dada corresponde ao phasor
\tilde{\mathbf{E}}(z)=50{,}0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}\,\mathbf{a}_y\\ \text{(V/m, phasor)}.
Aplicando a relação vetorial com \hat{k}=\mathbf{a}_z:
\tilde{\mathbf{H}}(z)=\dfrac{1}{\eta}\,\mathbf{a}_z\times\tilde{\mathbf{E}}(z) = \dfrac{1}{\eta}\, \mathbf{a}_z\times\big(50{,}0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}\mathbf{a}_y\big).
Como \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_y=-\mathbf{a}_x, obtemos:
\tilde{\mathbf{H}}(z)=-\dfrac{50{,}0}{\eta}\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}\,\mathbf{a}_x.
Passando ao tempo real (relação entre fase do denominador e argumento): escrevemos \eta=|\eta|e^{j\theta_\eta}. Então
\dfrac{1}{\eta}=\dfrac{1}{|\eta|}e^{-j\theta_\eta},
logo
\tilde{\mathbf{H}}(z)=-\dfrac{50{,}0}{|\eta|}e^{-\alpha z}e^{-j(\beta z+\theta_\eta)}\mathbf{a}_x.
Tomando a parte real com o fator e^{j\omega t}:
\mathbf{h}'(z;t)=\Re\{\tilde{\mathbf{H}}(z)e^{j\omega t}\} = -\dfrac{50{,}0}{|\eta|}e^{-\alpha z}\cos\big(\omega t-\beta z-\theta_\eta\big)\,\mathbf{a}_x.
Agora substituímos os valores numéricos obtidos:
|\eta|\approx 2098{,}9,\qquad \theta_\eta\approx 0{,}384\\ \mathrm{rad}.
Portanto a amplitude escala por 50/|\eta|\approx 0{,}02383.
Resultado final para \mathbf{h}'(z;t):
\mathbf{h}'(z;t)\approx -0{,}02383\,e^{-\alpha z}\cos\big(\omega t-\beta z-0{,}384\big)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{A/m}.
Observação: a escolha de manter o sinal negativo é apenas consequência do produto vetorial; pode-se também expressar a mesma função com uma fase adicional de \pi e retirar o sinal.

Resposta

\displaystyle \alpha \approx 1{,}130{,}9\\ \mathrm{Np/m}\n
\displaystyle \beta \approx 2{,}791{,}9\\ \mathrm{rad/m}\n
\displaystyle \eta \approx 1943{,}85 + j\,787{,}31\\ \Omega \;=\; 2098{,}9\angle 0{,}384\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 22{,}0^\circ)\n
\displaystyle u_{\mathrm{p}}=\dfrac{\omega}{\beta}\approx 2{,}251\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}\n
\displaystyle \mathbf{h}'(z;t)\approx -0{,}02383\,e^{-\alpha z}\cos\big(\omega t-\beta z-0{,}384\big)\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{A/m}.

Exercícios relacionados