Em um meio parcialmente condutor,
e
. Encontre
e a velocidade de propagação
para uma frequência de 1 GHz . Determine
, dado
.
Passo 1
O enunciado dá um meio parcialmente condutor com as propriedades:
e pede para a frequência
:
- encontrar a constante de propagação
, ou seja e ; - encontrar a impedância intrínseca
; - encontrar a velocidade de fase
; - determinar
sabendo que
Informações úteis que já temos (do enunciado ou constantes físicas):
A partir daqui passo a passo vamos calcular tudo e explicar as fórmulas usadas.
Passo 2
Primeiro transformamos as grandezas relativas em valores absolutos e calculamos
.
Definições e significado:
-
é a permissividade do meio (F/m). -
é a permeabilidade do meio (H/m). -
é a frequência angular (rad/s).
Cálculos:
Explanação rápida: usei
e
. A frequência angular aparece porque nas fórmulas eletromagnéticas a dependência temporal é
.
Passo 3
Vamos formar os termos que aparecem na expressão da constante de propagação e da impedância:
Definições:
Cálculo numérico:
Logo
E
onde
.
Observação didática:
tem mesma unidade de
(S/m), por isso somamos
.
Passo 4
Agora usamos a fórmula padrão para a constante de propagação em meios dissipativos:
Explicação: essa raiz quadrada é complexa; o resultado tem parte real
(atenuação em Np/m) e parte imaginária
(constante de fase em rad/m).
Compute o produto interno primeiro:
Numéricamente:
portanto
Para extrair a raiz quadrada de
fazemos isto de forma prática:
- calcule o módulo
, - calcule o argumento
, - então
.
Cálculos:
Logo
Finalmente
Breve interpretação:
diz quanto a amplitude decai por metro (Np/m);
dá quantos radianos de fase são acumulados por metro.
Passo 5
Calculamos a impedância intrínseca do meio. Fórmula:
Mas é frequentemente mais prático usar a relação com
:
Explicação: provém das definições
e
, multiplicando-as obtém-se
.
Usando
e
(onde
), fazemos a divisão em forma complexa:
Substituindo valores numéricos (com
):
É útil também colocar em forma módulo e fase:
Interpretação: a impedância é complexa porque o meio é dissipativo; a parte imaginária traduz defasagem entre
e
.
Passo 6
Calculamos a velocidade de fase
. Fórmula:
Substituindo os valores:
Comentário: essa velocidade é muito menor que a velocidade da luz no vácuo porque
e
são grandes e o meio é condutor parcial.
Passo 7
Agora determinar
a partir de
.
Método (explicação física e matemática):
- Para uma onda plana que se propaga na direção
com campo elétrico ao longo de (isto é ), o campo magnético phasor relaciona-se com o phasor elétrico por
onde
é o versor de propagação (aqui
); a regra do produto vetorial dá então a direção de
.
- No domínio do tempo real, se
, então .
Construção do phasor
:
A expressão temporal dada corresponde ao phasor
A expressão temporal dada corresponde ao phasor
Aplicando a relação vetorial com
:
Como
, obtemos:
Passando ao tempo real (relação entre fase do denominador e argumento): escrevemos
. Então
logo
Tomando a parte real com o fator
:
Agora substituímos os valores numéricos obtidos:
Portanto a amplitude escala por
.
Resultado final para
:
Observação: a escolha de manter o sinal negativo é apenas consequência do produto vetorial; pode-se também expressar a mesma função com uma fase adicional de
e retirar o sinal.