Em uma determinada frequência no cobre ( \sigma=58,0 \mathrm{MS} / \mathrm{m} ), a constante fase de uma onda é \beta= 3,7110^{5} \mathrm{rad} / \mathrm{m}. Determine essa frequência.

Passo 1

O enunciado dá a condutividade do cobre e a constante de fase da onda, e pede a frequência associada. Informações fornecidas:
\sigma = 58{,}0\\ \mathrm{MS}/\mathrm{m} (condutividade do cobre)
\beta = 3{,}71\times 10^{5}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m} (constante de fase)
O que se pede: determinar a frequência f da onda correspondente a essa \beta.

Passo 2

Vamos escrever a expressão geral que relaciona a constante de propagação com as propriedades do meio. A constante de propagação complexa é
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{j\omega\mu\left(\sigma + j\omega\varepsilon\right)}.
Aqui:
\omega é a frequência angular ( \omega = 2\pi f),
\mu é a permeabilidade do meio,
\varepsilon é a permissividade do meio,
\sigma é a condutividade elétrica.
Não vou resolver ainda; apenas apresentei a relação necessária e o significado de cada símbolo.

Passo 3

Explicação didática da aproximação que vamos usar (muito comum para metais como o cobre): para frequências onde o condutor é “bom condutor”, vale \sigma \gg \omega\varepsilon. Nesse caso podemos aproximar \sigma + j\omega\varepsilon \approx \sigma. Então
\gamma \approx \sqrt{j\omega\mu\sigma}.
Agora usamos que \sqrt{j} = \dfrac{1+j}{\sqrt{2}}. Logo
\gamma \approx \frac{1+j}{\sqrt{2}}\sqrt{\omega\mu\sigma} = (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Dessa expressão vemos que a parte imaginária (constante de fase) e a parte real (atenuação) são iguais:
\beta \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Comentário rápido: isso significa que, em bom condutor, \alpha=\beta e ambos aumentam com \sqrt{\omega}.

Passo 4

Isolamos \omega a partir de \beta:
\beta^{2} = \frac{\omega\mu\sigma}{2} \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{2\beta^{2}}{\mu\sigma}.
Convertendo para frequência f:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\beta^{2}}{\pi\mu\sigma}.
Aqui \mu será tomada como a permeabilidade do vácuo (cobre é praticamente não magnético), ou seja \mu \approx \mu_{0} = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos, convertendo \sigma para unidades SI:
\sigma = 58{,}0\\ \mathrm{MS/m} = 58{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{S/m}, \qquad \mu = \mu_{0} = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \qquad \beta = 3{,}71\times 10^{5}\\ \mathrm{rad/m}.
Calculamos \beta^{2}:
\beta^{2} = \left(3{,}71\times 10^{5}\right)^{2} = 1{,}37641\times 10^{11}.
Calculamos o denominador \pi\mu\sigma:
\pi\mu\sigma = \pi\cdot\left(4\pi\times 10^{-7}\right)\cdot\left(58{,}0\times 10^{6}\right) = 3{,}94784176\times 10^{-6}\cdot 58{,}0\times 10^{6} \approx 228{,}97482208.
Agora a frequência:
f = \frac{\beta^{2}}{\pi\mu\sigma} \approx \frac{1{,}37641\times 10^{11}}{228{,}97482208} \approx 6{,}01\times 10^{8}\\ \mathrm{Hz}.
Em unidades mais familiares, isso é aproximadamente 601\\ \mathrm{MHz}.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação de “bom condutor”: calculamos \omega\varepsilon_{0} e comparamos com \sigma. Com f\approx 6{,}01\times10^{8}\\ \mathrm{Hz} temos \omega=2\pi f\approx 3{,}78\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}. Então
\omega\varepsilon_{0}\approx 3{,}78\times10^{9}\cdot 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{S/m}\approx 3{,}35\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
Como \sigma=58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}\gg 3{,}35\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}, a condição \sigma\gg\omega\varepsilon está amplamente satisfeita. Portanto a aproximação usada é válida.

Resposta

f = 6{,}01\times 10^{8}\\ \mathrm{Hz}

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