Em uma determinada frequência no cobre (
), a constante fase de uma onda é
. Determine essa frequência.
Passo 1
O enunciado dá a condutividade do cobre e a constante de fase da onda, e pede a frequência associada. Informações fornecidas:
(condutividade do cobre)
(constante de fase)
O que se pede: determinar a frequência da onda correspondente a essa
.
O que se pede: determinar a frequência
Passo 2
Vamos escrever a expressão geral que relaciona a constante de propagação com as propriedades do meio. A constante de propagação complexa é
Aqui:
é a frequência angular (
),
é a permeabilidade do meio,
é a permissividade do meio,
é a condutividade elétrica.
Não vou resolver ainda; apenas apresentei a relação necessária e o significado de cada símbolo.
Não vou resolver ainda; apenas apresentei a relação necessária e o significado de cada símbolo.
Passo 3
Explicação didática da aproximação que vamos usar (muito comum para metais como o cobre): para frequências onde o condutor é “bom condutor”, vale
. Nesse caso podemos aproximar
. Então
Agora usamos que
. Logo
Dessa expressão vemos que a parte imaginária (constante de fase) e a parte real (atenuação) são iguais:
Comentário rápido: isso significa que, em bom condutor,
e ambos aumentam com
.
Passo 4
Isolamos
a partir de
:
Convertendo para frequência
:
Aqui
será tomada como a permeabilidade do vácuo (cobre é praticamente não magnético), ou seja
.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos, convertendo
para unidades SI:
Calculamos
:
Calculamos o denominador
:
Agora a frequência:
Em unidades mais familiares, isso é aproximadamente
.
Passo 6
Verificação da validade da aproximação de “bom condutor”: calculamos
e comparamos com
. Com
temos
. Então
Como
, a condição
está amplamente satisfeita. Portanto a aproximação usada é válida.