A amplitude de um movimento harmônico simples é A e a freqüência angular é igual a \omega. Determine: (a) o valor da energia cinética e da energia potencial para x=A; (b) o valor da energia cinética e da energia potencial para x=0; (c) o valor da energia cinética e da energia potencial para
x=A / 2; (d) o ponto x para o qual o valor instantâneo da energia cinética é igual ao valor instantâneo da energia potencial.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) de massa m, amplitude A e frequência angular \omega. Queremos calcular a energia cinética K e a energia potencial U em diferentes posições x, e também encontrar o ponto onde K=U. O conteúdo usado será a expressão da energia total e a repartição em cinética e potencial em MHS.

Passo 2

Em MHS a constante elástica é k=m\omega^2 e a energia potencial elástica é
U(x)=\frac{1}{2}\,k\,x^2=\frac{1}{2}\,m\omega^2 x^2.
A energia total conserva-se e vale
E=\frac{1}{2}\,m\omega^2 A^2,
logo a energia cinética instantânea em x é
K(x)=E-U(x)=\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2-\frac{1}{2}\,m\omega^2x^2.

Passo 3

Para x=A temos
U(A)=\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2=E,
e portanto
K(A)=E-U(A)=E-E=0.

Passo 4

Para x=0 temos
U(0)=\frac{1}{2}\,m\omega^2\cdot0^2=0,
e
K(0)=E-U(0)=E-0=E=\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2.

Passo 5

Para x=A/2 calculamos
U\bigl(A/2\bigr)=\frac{1}{2}\,m\omega^2\Bigl(\frac{A}{2}\Bigr)^2 =\frac{1}{2}\,m\omega^2\frac{A^2}{4} =\frac{1}{8}\,m\omega^2A^2,
e
K\bigl(A/2\bigr)=E-U\bigl(A/2\bigr) =\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2-\frac{1}{8}\,m\omega^2A^2 =\frac{3}{8}\,m\omega^2A^2.

Passo 6

Para achar x tal que K(x)=U(x), igualamos
E-U(x)=U(x) \quad\Longrightarrow\quad U(x)=\frac{E}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\,m\omega^2x^2=\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2
portanto
x^2=\frac{A^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}.

Resposta

(a) K(A)=0, U(A)=\displaystyle\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2.
(b) K(0)=\displaystyle\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2, U(0)=0.
(c) K\bigl(A/2\bigr)=\displaystyle\frac{3}{8}\,m\omega^2A^2, U\bigl(A/2\bigr)=\displaystyle\frac{1}{8}\,m\omega^2A^2.
(d) x=\pm\displaystyle\frac{A}{\sqrt{2}}.

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