Um oscilador harmônico possui deslocamento dado por: x=-4 \operatorname{sen}(\omega t) onde x é dado em metros, \omega=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e t é dado em segundos. O oscilador consiste de um bloco de massa m=0,5 \mathrm{~kg} preso a uma dada mola. Calcule: (a) a energia cinética média; (b) a energia potencial média; (c) a energia total; (d) o valor da constante k da mola. Dê as respostas no SI.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de um oscilador harmônico simples
x = -4\sin(\omega t)
com amplitude A=4,m, frequência angular \omega=2,rad/s e massa m=0,5,kg.
Queremos calcular
(a) a energia cinética média \langle K\rangle,
(b) a energia potencial média \langle U\rangle,
(c) a energia total E e
(d) a constante da mola k.
Para isso vamos usar as fórmulas da energia em oscilações harmônicas:
E = \frac12\,m\,\omega^2\,A^2, \quad \langle K\rangle = \langle U\rangle = \frac{E}{2}, \quad \omega^2 = \frac{k}{m}.

Passo 2

Calcular a energia total E usando
E = \frac12\,m\,\omega^2\,A^2.
Substituindo m=0,5,kg, \omega=2,rad/s e A=4,m, temos
E = \frac12 \times 0,5 \times (2)^2 \times (4)^2 = \frac12 \times 0,5 \times 4 \times 16 = 0,25 \times 64 = 16\text{ J}.

Passo 3

Em um período de oscilação, as energias cinética e potencial têm média igual à metade da energia total:
\langle K\rangle = \langle U\rangle = \frac{E}{2} = \frac{16\text{ J}}{2} = 8\text{ J}.

Passo 4

Determinar a constante da mola k usando
\omega^2 = \frac{k}{m} \quad\Longrightarrow\quad k = m\,\omega^2.
Com m=0,5,kg e \omega=2,rad/s, vem
k = 0,5 \times (2)^2 = 0,5 \times 4 = 2\text{ N/m}.

Resposta

(a) \langle K\rangle = 8 J
(b) \langle U\rangle = 8 J
(c) E = 16 J
(d) k = 2 N/m

Exercícios relacionados