Uma partícula descreve um movimento harmônico simples com amplitude A. Sabendo que a constante da mola é k, determine: (a) a energia total; (b) a relação entre a energia potencial e a energia total em função do deslocamento x medido a partir da posição de equilíbrio da mola; (c) a razão entre a energia cinética e a energia total para cada deslocamento x a partir da posição de equilíbrio da mola.
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Passo 1

O enunciado descreve uma partícula presa a uma mola de constante k que executa um movimento harmônico simples de amplitude A. Queremos achar
(a) a energia mecânica total E,
(b) a razão entre a energia potencial U e E em função do deslocamento x,
(c) a razão entre a energia cinética K e E em função de x.

Passo 2

Em qualquer movimento harmônico simples, a energia mecânica total é conservada e vale o valor máximo da energia potencial, que ocorre nos extremos \pm A, onde a velocidade é zero. Assim,
E = U_{\max} = \frac{1}{2}\,k\,A^{2}.

Passo 3

Em uma posição genérica x, a energia potencial da mola é
U(x) = \frac{1}{2}\,k\,x^{2}.
Logo, a razão entre energia potencial e total é
\frac{U(x)}{E} = \frac{\tfrac12\,k\,x^{2}}{\tfrac12\,k\,A^{2}} = \frac{x^{2}}{A^{2}}.

Passo 4

A energia cinética é o restante da energia total:
K(x) = E - U(x) = \frac{1}{2}\,k\,A^{2} - \frac{1}{2}\,k\,x^{2} = \frac{1}{2}\,k\,(A^{2}-x^{2}).
Portanto, a razão entre energia cinética e total é
\frac{K(x)}{E} = \frac{\tfrac12\,k\,(A^{2}-x^{2})}{\tfrac12\,k\,A^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}.

Resposta

(a) E = \tfrac{1}{2}\,k\,A^{2}.
(b) \displaystyle \frac{U(x)}{E} = \frac{x^{2}}{A^{2}}.
(c) \displaystyle \frac{K(x)}{E} = 1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}.

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