An automobile drag racer drives a car with acceleration
and instantaneous velocity
. The tires (of radius
) are not slipping. Find which point on the tire has the greatest acceleration relative to the ground. What is this acceleration?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carro de corrida que está acelerando com uma aceleração $ a $ e uma velocidade instantânea $ v $. As rodas têm raio $ r_{0} $ e não estão escorregando, ou seja, está rolando sem deslizamento. A pergunta é: qual ponto na roda tem a maior aceleração em relação ao chão? E qual é essa aceleração?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o movimento de rotação e translação das rodas, especialmente no contexto de rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a velocidade linear $ v $ do carro com a velocidade angular $ \omega $ da roda. Como a roda está rolando sem escorregar, temos a condição de rolamento puro:
Diferenciando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo, obtemos a aceleração:
onde $ \alpha $ é a aceleração angular da roda.
Passo 3
Agora, vamos analisar a aceleração de um ponto qualquer na roda em relação ao chão. A aceleração total desse ponto é a soma da aceleração linear $ a $ do centro da roda e da aceleração centrípeta devido à rotação.
A aceleração centrípeta $ a_c $ é dada por:
Substituindo $ \omega = \frac{v}{r_{0}} $, temos:
Passo 4
Para encontrar qual ponto na roda tem a maior aceleração relativa ao chão, precisamos considerar a direção das acelerações. No ponto mais alto da roda, a aceleração centrípeta está na mesma direção da aceleração linear $ a $. Portanto, as duas acelerações se somam:
Passo 5
No ponto mais baixo da roda, a aceleração centrípeta está na direção oposta à aceleração linear $ a $. Assim, as acelerações se subtraem:
Comparando os dois casos, vemos que a aceleração total é maior no ponto mais alto da roda.
Resposta
O ponto no topo da roda possui a maior aceleração relativa ao chão, com uma aceleração de $ a + \frac{v^{2}}{r_{0}} $.