Se an>0 e lim n infty(an+1 / an)<1, então lim n infty an=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência $a_n$ de termos positivos e que \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L<1. O conteúdo aqui é o teste da razão para sequências, onde se a razão assintótica é menor que 1, esperamos que a sequência tenda a zero.

Passo 2

Como \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L<1, podemos escolher um número \;r\; tal que \L<r<1. Pela definição de limite, existe \N\; tal que para todo \n\ge N\; vale \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r.

Passo 3

A partir de \n\ge N\;, temos \;a_{n+1}\le r,a_n\;. Aplicando isso repetidamente até o termo \a_N\, obtemos por indução:
an<= aN,r^,n-N, para todo n>= N

Passo 4

Como \;0<r<1\;, sabemos que \;r^{,n-N}\to0\; quando \n\to\infty. Então o produto \;a_N\,r^{,n-N}\to0\;. Portanto, \;a_n\to0\; quando \n\to\infty.

Passo 5

Em resumo, mostramos que \;0\le a_n\le a_N\,r^{,n-N}\to0\; para \n\ge N\;, logo \lim_{n\to\infty}a_n=0\;.

Resposta

0

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