Determine o centro de massa de
, onde
é a esfera
, com densidade constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa de uma esfera $ V $ definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9 $ com densidade constante $ \delta(x, y, z) = 1 $. Aqui, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral para determinar o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é um ponto que representa a média das posições de todas as partes do objeto, levando em consideração a distribuição da massa. No caso de densidade constante, isso simplifica as coisas porque a massa está distribuída de forma uniforme.
Passo 3
Como a densidade é constante e a esfera é simétrica em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, podemos antecipar que o centro de massa estará no centro da esfera. Mas vamos confirmar isso calculando as coordenadas do centro de massa.
Passo 4
As coordenadas do centro de massa ($ \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} $) são dadas por:
onde $ M $ é a massa total da esfera.
Passo 5
Como a densidade $ \delta = 1 $, a massa total $ M $ é igual ao volume da esfera. O volume de uma esfera de raio $ R $ é $ \frac{4}{3}\pi R^{3} $. Aqui, $ R = 3 $, então:
Passo 6
Vamos calcular $ \bar{x} $:
Como a esfera é simétrica em relação ao plano $ y
z $, para cada ponto $ (x, y, z) $ existe um ponto $ (-x, y, z) $ que cancela a contribuição para a integral, resultando em:
O mesmo raciocínio vale para $ \bar{y} $ e $ \bar{z} $, então:
Resposta
O centro de massa da esfera $ V $ é o ponto $ (0,\ 0,\ 0) $.