Se um número finito de termos forem adicionados a uma série convergente, a nova série também é convergente.
Passo 1
O enunciado afirma que, partindo de uma série convergente, ao adicionarmos um número finito de termos a ela obtemos outra série que também converge. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e o efeito de somar um número finito de termos.
Passo 2
Seja a série original dada por
que converge para o valor
. Suponha que adicionemos
termos
(seja no início ou em qualquer posição fixa). A nova série pode ser escrita como
o onde, para cada
, a soma parcial é
Chamando
e
, temos
Como
, então
porque retirar ou atrasar um índice finito não altera o limite. Logo
o que é finito. Portanto a nova série converge.
Passo 3
A conclusão é que adicionar um número finito de termos a uma série convergente resulta em uma série cujo limite das somas parciais difere por uma constante (a soma desses termos), logo continua convergente.
Resposta
Verdadeiro