Se um número finito de termos forem adicionados a uma série convergente, a nova série também é convergente.

Passo 1

O enunciado afirma que, partindo de uma série convergente, ao adicionarmos um número finito de termos a ela obtemos outra série que também converge. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e o efeito de somar um número finito de termos.

Passo 2

Seja a série original dada por
sumn=1^infty an = S
que converge para o valor S. Suponha que adicionemos k termos b1, b2, dots, bk (seja no início ou em qualquer posição fixa). A nova série pode ser escrita como
sumn=1^infty cn
o onde, para cada N, a soma parcial é
S'N = sumi=1^N ci = sumi=1^k bi + sumj=1^N-k aj
Chamando B = sumi=1^k bi e SN-k = sumj=1^N-k aj, temos
S'N = B + SN-k
Como N to infty, então SN-k to S porque retirar ou atrasar um índice finito não altera o limite. Logo
limNtoinfty S'N = B + S,
o que é finito. Portanto a nova série converge.

Passo 3

A conclusão é que adicionar um número finito de termos a uma série convergente resulta em uma série cujo limite das somas parciais difere por uma constante (a soma desses termos), logo continua convergente.

Resposta

Verdadeiro

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