Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.
Passo 1
O enunciado quer saber se é verdade que, sempre que duas sequências
e
forem divergentes, a sequência produto
também diverge. O conteúdo aqui é definição de convergência e divergência de sequências e a ideia de contraprova via contraexemplo.
Passo 2
Para mostrar que uma afirmação do tipo “se A então B” é falsa, basta encontrar um contraexemplo: duas sequências que satisfazem A (divergem) mas não satisfazem B (o produto não diverge).
Passo 3
Considere as sequências
Cada uma delas não converge, pois oscila entre
e
, logo ambas são divergentes.
Passo 4
Agora, o produto dessas sequências é
Essa nova sequência é constante igual a
e, portanto, converge (não diverge).
Passo 5
Portanto encontramos duas sequências divergentes cujo produto converge, mostrando que a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
e
divergem, mas
converge.