Se an e bn são ambas divergentes, então an bn é divergente.

Passo 1

O enunciado quer saber se é verdade que, sempre que duas sequências an e bn forem divergentes, a sequência produto an bn também diverge. O conteúdo aqui é definição de convergência e divergência de sequências e a ideia de contraprova via contraexemplo.

Passo 2

Para mostrar que uma afirmação do tipo “se A então B” é falsa, basta encontrar um contraexemplo: duas sequências que satisfazem A (divergem) mas não satisfazem B (o produto não diverge).

Passo 3

Considere as sequências
an = (-1)^n, bn = (-1)^n
Cada uma delas não converge, pois oscila entre 1 e -1, logo ambas são divergentes.

Passo 4

Agora, o produto dessas sequências é
an bn = (-1)^n cdot (-1)^n = ((-1)^n)^2 = 1
Essa nova sequência é constante igual a 1 e, portanto, converge (não diverge).

Passo 5

Portanto encontramos duas sequências divergentes cujo produto converge, mostrando que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: an = (-1)^n e bn = (-1)^n divergem, mas an bn = 1 converge.

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