Ana e Beatriz decidiram correr uma maratona no parque da cidade. Ana começou a correr às 8 h da manhã com uma velocidade constante de 8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Beatriz, que estava um pouco atrasada, começou a correr 15 minutos depois, às 8 h 15 \mathrm{~min}, mas com uma velocidade constante de 10 \mathrm{~km} / h. Suponha que ambas correm em linha reta na mesma direção. A que horas Beatriz alcançará Ana?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Ana começou a correr às 8h com velocidade constante de 8\\ \mathrm{km/h}.
  • Beatriz começou a correr às 8h 15min com velocidade constante de 10\\ \mathrm{km/h}.
  • Ambas correm na mesma direção em linha reta.
  • Pergunta: A que horas Beatriz alcançará Ana?

Passo 2

Vamos definir uma incógnita clara para organizar o raciocínio.
  • Seja t o tempo, em horas, contado a partir das 8h até o instante em que Beatriz alcança Ana.
    Ex.: se o encontro ocorrer às 9h, então t=1; se às 8h 30min, então t=0,5.
  • Note que Beatriz só começou a correr 15 minutos depois de Ana, ou seja, Beatriz começa a correr em t=0,25 horas (pois 15min = 0,25 h).

Passo 3

Lembrete e modelagem em equações (aulas rápidas): distância = velocidade × tempo. Aqui temos que, até o encontro,
  • distância percorrida por Ana = velocidade de Ana × tempo que Ana correu = 8 \cdot t (em km).
  • distância percorrida por Beatriz = velocidade de Beatriz × tempo que Beatriz correu = 10 \cdot (t-0,25) (em km), porque Beatriz correu t-0,25 horas (ela começou depois).
É importante manter as unidades coerentes: velocidades em \mathrm{km/h}, tempo em horas, distância em km.

Passo 4

Condição de encontro: as distâncias percorridas são iguais no instante do encontro. Montamos a equação e resolvemos passo a passo.
8t = 10\bigl(t-0,25\bigr)
Expandindo o lado direito:
8t = 10t - 2,5
Passando 10t para o lado esquerdo:
8t - 10t = -2,5
-2t = -2,5
Multiplicando por -1:
2t = 2,5
Dividindo por 2:
t = \frac{2,5}{2} = 1,25
Portanto t=1,25 horas após as 8h.

Passo 5

Converter t=1,25 horas para horas e minutos:
  • A parte inteira é 1 hora.
  • A parte decimal 0,25 h corresponde a 0,25\times 60 = 15 minutos.
Logo o encontro ocorre 1 hora e 15 minutos após as 8h, isto é, às 9h 15min.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule as duas distâncias no instante t=1,25 h.
  • Ana: 8\times 1,25 = 10 km.
  • Beatriz: 10\times(1,25-0,25) = 10\times 1 = 10 km.
As duas distâncias coincidem, então o resultado está consistente. Boa! Você conseguiu.

Resposta

Às 9h 15min.

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