Um determinado veiculo em certo instante, possui uma velocidade de 20 m / s. A partir deste instante o condutor do veiculo acelera seu carro constantemente em 4 m / s^{2}. Qual a velocidade que o automóvel terá após ter percorrido 62,5 m ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações fornecidas:
\;v_0=20\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial),
\;a=4\\ \mathrm{m/s^2} (aceleração constante),
\;\Delta x=62,5\\ \mathrm{m} (distância percorrida desde o instante considerado).
Pergunta: Qual a velocidade v do automóvel após percorrer \Delta x=62,5\\ \mathrm{m} sob essa aceleração?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando a aceleração é constante, velocidade e posição se relacionam por equações de cinemática. Duas fórmulas básicas são:
\;a=\dfrac{v-v_0}{t} (definição de aceleração média para aceleração constante), onde t é o tempo decorrido, v_0 é a velocidade inicial e v é a velocidade final.
E a posição (ou deslocamento) quando a aceleração é constante pode ser obtida usando a velocidade média: a velocidade média em aceleração constante é \dfrac{v_0+v}{2}, então o deslocamento é produto da velocidade média pelo tempo:
\Delta x = \left(\dfrac{v_0+v}{2}\right)\,t.
Aqui: \Delta x é a distância percorrida, v_0 e v as velocidades inicial e final, t o tempo. Não usaremos cálculo; estas relações são algebra simples e frequentemente usadas em prova.

Passo 3

Eliminação do tempo para obter uma relação direta entre v, v_0, a e \Delta x: a partir de \;a=\dfrac{v-v_0}{t} isolamos t:
t=\dfrac{v-v_0}{a}.
Substituímos esse t na expressão de \Delta x:
\Delta x = \left(\dfrac{v_0+v}{2}\right)\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right).
Agora fazemos as contas algébricas no lado direito. Note que (v_0+v)(v-v_0)=v^2-v_0^2. Assim:
\Delta x = \dfrac{v^2-v_0^2}{2a}.
Isolando v^2 obtemos a fórmula clássica útil em provas:
v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x.
Esta fórmula nos dá diretamente v a partir de v_0, a e \Delta x, sem precisar do tempo.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números do enunciado. Primeiro escrevemos a fórmula:
v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x.
Agora substituímos \;v_0=20\\ \mathrm{m/s}, \;a=4\\ \mathrm{m/s^2} e \;\Delta x=62,5\\ \mathrm{m}:
v^2 = 20^2 + 2\cdot 4 \cdot 62,5.
Calculando passo a passo: \;20^2=400. Em seguida 2\cdot 4\cdot 62,5 = 8\cdot 62,5 = 500. Somando,
v^2 = 400 + 500 = 900.

Passo 5

Tomamos raiz quadrada para obter v. Como estamos tratando velocidade escalar nessa situação em que aceleração e velocidade inicial têm o mesmo sentido, escolhemos a raiz positiva:
v = \sqrt{900} = 30\\ \mathrm{m/s}.
Bom trabalho — a conta ficou certinha e rápida: a aceleração de 4\\ \mathrm{m/s^2} sobre 62,5\\ \mathrm{m} fez a velocidade crescer de 20 para 30\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

30\\ \mathrm{m/s}

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