Ana está num carro, que se move para a direita com velocidade
, ao longo de uma estrada retilínea, paralela ao eixo y. Num dado ponto desta estrada está Pedro, no interior de um carro parado. Ana passa por Pedro e, depois de decorrido um intervalo de tempo T, no referencial do solo, Pedro passa a perseguir o carro de Ana, com uma velocidade
. Tomando como origem a passagem de Ana por Pedro, determine:
(a) o instante e a posição da saída de Pedro, nos referenciais do solo e de Ana;
(b) o instante e a posição em que Pedro alcança Ana, nos referenciais do solo e de Ana;
(c) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando os resultados anteriores.
(d) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando as regras de adição de velocidades
(a) o instante e a posição da saída de Pedro, nos referenciais do solo e de Ana;
(b) o instante e a posição em que Pedro alcança Ana, nos referenciais do solo e de Ana;
(c) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando os resultados anteriores.
(d) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando as regras de adição de velocidades
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado, sem resolver nada ainda).
- Dados fornecidos:
- Ana move-se ao longo do eixo
para a direita com velocidade constante . Vou usar a coordenada escalar positiva no sentido do movimento; portanto a velocidade escalar de Ana no referencial do solo é . - No instante que Ana passa por Pedro foi escolhida a origem: então no referencial do solo, no instante
temos e Pedro também está em . - Pedro permaneceu parado (no solo) até um instante
(medido no referencial do solo), quando então começa a perseguir Ana com velocidade escalar constante relativa ao solo, com .
- Ana move-se ao longo do eixo
- O que o enunciado pede:
(a) o instante e a posição da saída de Pedro, nos referenciais do solo e de Ana;
(b) o instante e a posição em que Pedro alcança Ana, nos referenciais do solo e de Ana;
(c) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando os resultados anteriores;
(d) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando as regras de adição de velocidades.
Passo 2
Descrever as trajetórias no referencial do solo [S) (vai ser a base para resolver tudo).
- Ana: movimento retilíneo uniforme com velocidade
. A posição de Ana no solo é
Aqui
é o tempo medido no solo, e
é a velocidade constante (unidades de comprimento/tempo).
- Pedro: fica parado até
e a partir de desloca-se com velocidade constante . Escreve-se a posição de Pedro no solo em forma peça por peça:
Explicação curta: para
; para
mede-se o tempo de movimento efetivo como
e multiplica-se pela velocidade
.]
Passo 3
Resolver (a): instante e posição da saída de Pedro no referencial do solo e no referencial de Ana.
- No solo
: Pedro sai exatamente no instante dado e naquele instante a posição dele é
Portanto, no referencial do solo a saída ocorre em
e
.
- No referencial de Ana (chamo de
): usar transformação galileana (tempo igual em mecânica clássica). As transformações de coordenada unidimensional são
onde
é a posição medida no referencial que se move com velocidade
(o de Ana). Aplicando ao evento “Pedro sai” (evento com coordenadas no solo
) obtemos
Interpretação: no referencial de Ana, no instante em que Pedro começa a persegui-la ele está atrás de Ana a uma distância
(posição negativa se tomar frente como positiva). Portanto a saída de Pedro, em
, ocorre em
e
.
Passo 4
Resolver (b) — encontrar instante e posição em que Pedro alcança Ana no referencial do solo
.
- Para achar o instante de encontro
no solo, igualamos as posições para :
Substituindo as expressões para
:
Resolver para
:
Observação: como
, o denominador é positivo e
, como deve ser.
- A posição de encontro no solo é
. Substituindo obtemos
(Alternativamente poderia usar
; dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Transformar o evento de encontro para o referencial de Ana
.
- A transformação galileana dá para o evento de encontro:
Mas como
temos imediatamente
Interpretação física: no referencial de Ana ela está em repouso na origem
; o encontro ocorre onde Ana está, isto é
. O instante no referencial de Ana é o mesmo
.
Passo 6
Explicações e verificação de consistência (didática): por que o tempo é o mesmo em ambos os referenciais?
- Estamos usando a mecânica clássica (velocidades bem menores que a da luz), portanto o tempo é absoluto:
. É por isso que os instantes numericamente coincidem. A posição, porém, transforma-se como se a origem do referencial de Ana se deslocasse com velocidade .
Passo 7
Resolver (c) usando resultados anteriores: velocidade de Pedro em relação a Ana, calculada a partir dos deslocamentos e tempos obtidos.
- No referencial de Ana, Pedro saiu de
no instante e alcançou Ana em no instante . A velocidade média (e aqui constante) de Pedro em é
- Substituir
obtido no Passo 4: calcule :
- Então
Conclusão: a velocidade de Pedro em relação a Ana é
. É uma velocidade positiva (Pedro se aproxima de Ana no sentido positivo em
), compatível com
.
Passo 8
Resolver (d) usando as regras de adição de velocidades (justificar e aplicar).
- Em mecânica clássica a regra de adição de velocidades unidimensionais entre dois referenciais que se movimentam um em relação ao outro com velocidade
é simplesmente
onde
é a velocidade medida no solo e
é a velocidade medida em um referencial que se move com velocidade
(aqui, o referencial de Ana). Aplicando diretamente com
e subtraindo
obtemos
- Essa fórmula é a mesma que encontramos no Passo 7; é a consequência do fato de que as velocidades se somam/subtraem em transformações galileanas. Portanto os dois métodos coincidem.
Resposta
(a) No referencial do solo:
(a) No referencial de Ana:
(b) No referencial do solo:
(b) No referencial de Ana:
(c) Velocidade de Pedro em relação a Ana (usando os resultados):
(d) Velocidade de Pedro em relação a Ana (pela regra de adição):
(a) No referencial de Ana:
(b) No referencial do solo:
(b) No referencial de Ana:
(c) Velocidade de Pedro em relação a Ana (usando os resultados):
(d) Velocidade de Pedro em relação a Ana (pela regra de adição):