Ana tem 20 livros, das quais 5 são de romance.
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher 8 livros quaisquer, de modo que a ordem dos livros seja irrelevante?
b) De quantas maneiras Ana pode escolher 8 livros ao acaso, de modo que a ordem da escolha seja irrelevante e que 3 livros sejam de romance?
c) Qual a probabilidade de Ana escolher 8 livros, sendo 3 de romance?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
Ana tem 20 livros no total. Dessas, 5 são de romance e 15 não são de romance. As perguntas são:\n
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher 8 livros quaisquer, sem considerar ordem?\n
b) De quantas maneiras Ana pode escolher 8 livros, sem considerar ordem, de modo que exatamente 3 sejam de romance?\n
c) Qual a probabilidade de Ana escolher 8 livros e exatamente 3 deles serem de romance?\n

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):\n
  1. Combinação: quando a ordem não importa, o número de maneiras de escolher k objetos dentre n é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Ex.: \,4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.\n
2) Princípio multiplicativo: se uma escolha é feita em duas etapas independentes (escolher a de um grupo e b de outro), o número total de escolhas é o produto do número de escolhas de cada etapa.\n
3) Probabilidade clássica: se todos os subconjuntos de tamanho fixo são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº total de casos}}.ºáº
Aplicaremos isso no item (c).\n

Passo 3

Resolvendo (a) — número total de maneiras de escolher 8 livros dentre 20, sem ordem:\n
Usamos a combinação
\binom{20}{8}=\frac{20!}{8!\,12!}.
Para calcular sem escrever factorials enormes, reduzimos multiplicando apenas os 8 fatores maiores do numerador e dividindo por 8!:
\binom{20}{8}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Mostrando a ideia de cancelamento em passos simples (algumas divisões inteiras que facilitam o cálculo manual):\n
  • Divida 20 por 4 para obter 5 (pois 4 está em 8!). Agora o produto no numerador tem um fator 5 em vez de 20.\n
  • Divida 18 por 3 para obter 6.\n
  • Divida 16 por 8 para obter 2.\n
  • Divida 15 por 5 para obter 3.\n
  • Divida 14 por 7 para obter 2.\n
  • Divida 12! já foi eliminado implicitamente, sobrando apenas o denominador 6\cdot2\cdot1 que pode ser simplificado com os numeradores restantes; seguindo as divisões acima o denominador é anulado completamente.\n
    Fazendo o produto restante (ou usando um cálculo direto organizado) chega-se ao valor conhecido
\binom{20}{8}=125\,970.
(Se preferir, você pode conferir multiplicando 13\cdot14\cdot15\cdot16\cdot17\cdot18\cdot19\cdot20=5\,079\,110\,400 e dividindo por 8!=40\,320, o que também dá 125\,970.)

Passo 4

Resolvendo (b) — número de maneiras de escolher exatamente 3 romances entre os 8:\n
Devemos escolher 3 livros dentre as 5 de romance e o restante 5 livros dentre as 15 não-romance. Pelo princípio multiplicativo:
\text{casos favoráveis}=\binom{5}{3}\cdot\binom{15}{5}.á
Calculamos as duas combinações separadamente:\n
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.\n
Agora \binom{15}{5}. Usando a fórmula:
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Cancelando e calculando passo a passo:
  • 5 cancela com 15 dando 3.\n
  • 4 cancela com 12 dando 3.\n
    Restam 3\cdot14\cdot13\cdot3\cdot11 dividido por 3\cdot3\cdot2\cdot1 (após as divisões sucessivas), efetuando o produto corretamente obtemos
\binom{15}{5}=3\,003.
Portanto
\text{casos favoráveis}=\;10\cdot3\,003=30\,030.á

Passo 5

Resolvendo (c) — probabilidade de que, escolhendo 8 livros ao acaso, exatamente 3 sejam de romance:\n
Usamos a fórmula de probabilidade clássica:
P(\text{3 romances})=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{total de casos}}=\frac{30\,030}{125\,970}.á
Simplificamos a fração dividindo por 30:
\frac{30\,030}{125\,970}=\frac{1\,001}{4\,199}.
Observando fatores comuns (fator 13 em ambos), dividimos por 13:
\frac{1\,001}{4\,199}=\frac{77}{323}.
Opcionalmente, em decimal aproximado (arredondando):
\frac{77}{323}\approx0,2384.

Resposta

a) 125\,970\n
b) 30\,030\n
c) \dfrac{77}{323}\approx0,2384

Exercícios relacionados