Ana tem 20 livros, das quais 5 são de romance.
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher 8 livros quaisquer, de modo que a ordem dos livros seja irrelevante?
b) De quantas maneiras Ana pode escolher 8 livros ao acaso, de modo que a ordem da escolha seja irrelevante e que 3 livros sejam de romance?
c) Qual a probabilidade de Ana escolher 8 livros, sendo 3 de romance?
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher 8 livros quaisquer, de modo que a ordem dos livros seja irrelevante?
b) De quantas maneiras Ana pode escolher 8 livros ao acaso, de modo que a ordem da escolha seja irrelevante e que 3 livros sejam de romance?
c) Qual a probabilidade de Ana escolher 8 livros, sendo 3 de romance?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
Ana tem livros no total. Dessas,
são de romance e
não são de romance. As perguntas são:\n
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher livros quaisquer, sem considerar ordem?\n
b) De quantas maneiras Ana pode escolher livros, sem considerar ordem, de modo que exatamente
sejam de romance?\n
c) Qual a probabilidade de Ana escolher livros e exatamente
deles serem de romance?\n
Ana tem
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher
b) De quantas maneiras Ana pode escolher
c) Qual a probabilidade de Ana escolher
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):\n
- Combinação: quando a ordem não importa, o número de maneiras de escolher
objetos dentre é dado por
Aqui
(fatorial) significa
. Ex.:
.\n
2) Princípio multiplicativo: se uma escolha é feita em duas etapas independentes (escolher de um grupo e
de outro), o número total de escolhas é o produto do número de escolhas de cada etapa.\n
3) Probabilidade clássica: se todos os subconjuntos de tamanho fixo são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
2) Princípio multiplicativo: se uma escolha é feita em duas etapas independentes (escolher
3) Probabilidade clássica: se todos os subconjuntos de tamanho fixo são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aplicaremos isso no item (c).\n
Passo 3
Resolvendo (a) — número total de maneiras de escolher
livros dentre
, sem ordem:\n
Usamos a combinação
Usamos a combinação
Para calcular sem escrever factorials enormes, reduzimos multiplicando apenas os
fatores maiores do numerador e dividindo por
:
Mostrando a ideia de cancelamento em passos simples (algumas divisões inteiras que facilitam o cálculo manual):\n
- Divida
por para obter (pois está em ). Agora o produto no numerador tem um fator em vez de .\n - Divida
por para obter .\n - Divida
por para obter .\n - Divida
por para obter .\n - Divida
por para obter .\n - Divida
já foi eliminado implicitamente, sobrando apenas o denominador que pode ser simplificado com os numeradores restantes; seguindo as divisões acima o denominador é anulado completamente.\n
Fazendo o produto restante (ou usando um cálculo direto organizado) chega-se ao valor conhecido
(Se preferir, você pode conferir multiplicando
e dividindo por
, o que também dá
.)
Passo 4
Resolvendo (b) — número de maneiras de escolher exatamente
romances entre os
:\n
Devemos escolher livros dentre as
de romance e o restante
livros dentre as
não-romance. Pelo princípio multiplicativo:
Devemos escolher
Calculamos as duas combinações separadamente:\n
Agora
. Usando a fórmula:
Cancelando e calculando passo a passo:
-
cancela com dando .\n -
cancela com dando .\n
Restamdividido por (após as divisões sucessivas), efetuando o produto corretamente obtemos
Portanto
Passo 5
Resolvendo (c) — probabilidade de que, escolhendo
livros ao acaso, exatamente
sejam de romance:\n
Usamos a fórmula de probabilidade clássica:
Usamos a fórmula de probabilidade clássica:
Simplificamos a fração dividindo por
:
Observando fatores comuns (fator
em ambos), dividimos por
:
Opcionalmente, em decimal aproximado (arredondando):
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)