(2,5 pts) Calcule \iiint_{E} x y d V onde E é o sólido que está abaixo do plano z=2 e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo \iiint_{E} x y\, dV, onde E é o sólido que está abaixo do plano \,z=2 e acima da região do plano xy limitada pelas curvas \,y=\sqrt{x}, \,y=0 e \,x=1. Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície superior do sólido é o plano \,z=2.
  • A base do sólido é a região R no plano xy limitada por \,y=0 (eixo x), \,y=\sqrt{x} e \,x=1.
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x y.
    A pergunta é: calcular o valor numérico de \iiint_{E} x y\, dV.

Passo 2

Vamos descrever com clareza a região R no plano xy. A curva \,y=\sqrt{x} pode ser reescrita como \,x=y^{2}. Os limites dados \,y=0 e \,x=1 fecham a região como um “subida” de y de 0 até \sqrt{x} para x variando de 0 até 1. Portanto uma descrição conveniente é:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
Observação didática: poderíamos também parametrizar trocando a ordem ( y de 0 a 1 e x de y^{2} a 1), ambas são válidas; escolho x externo e y interno porque é direto a partir da forma y=\sqrt{x}.

Passo 3

Agora pense no sólido E. Ele está “acima” de R e “abaixo” do plano \,z=2. Isso significa que, para cada ponto (x,y)\in R, o z varia de \,z=0 (o plano xy) até \,z=2. Logo podemos escrever o integral triplo como um iterado integrando primeiro em z:
\iiint_{E} x y\, dV=\iint_{R}\left(\int_{z=0}^{z=2} x y\, dz\right)dA.
Aqui usei a ideia padrão: fixando (x,y), integro em z entre as superfícies inferior e superior; depois integro sobre a base R.

Passo 4

Calcule o integral interno em z. Note que x e y são constantes quando integramos em z, logo
\int_{0}^{2} x y\, dz = x y \int_{0}^{2} dz = x y\cdot(2-0)=2 x y.
Explicação didática: integrar em z uma função que não depende de z é multiplicar essa função pelo comprimento do intervalo em z.

Passo 5

Substituindo na expressão dupla sobre R obtemos
\iiint_{E} x y\, dV=\iint_{R} 2 x y\, dA.
Usando a descrição de R do Passo 2 com x variando de \,0 a \,1 e y de \,0 a \sqrt{x}, escrevemos o integral iterado:
\iiint_{E} x y\, dV=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} 2 x y\, dy\right)dx.

Passo 6

Calcule o integral interno em y. Como x é constante nesta integração:
\int_{0}^{\sqrt{x}} 2 x y\, dy = 2 x \int_{0}^{\sqrt{x}} y\, dy = 2 x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{x}} = 2 x\cdot\frac{(\sqrt{x})^{2}}{2}=2 x\cdot\frac{x}{2}=x^{2}.
Observe a simplificação: os 2 cancelam, sobrando x^{2}.

Passo 7

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1} x^{2}\, dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-0=\frac{1}{3}.
Portanto o valor do integral triplo é \frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados