(2,5 pts) Calcule
onde E é o sólido que está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral triplo
, onde
é o sólido que está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
,
e
. Informações relevantes fornecidas:
- A superfície superior do sólido é o plano
. - A base do sólido é a região
no plano limitada por (eixo ), e . - A função a integrar é
.
A pergunta é: calcular o valor numérico de.
Passo 2
Vamos descrever com clareza a região
no plano
. A curva
pode ser reescrita como
. Os limites dados
e
fecham a região como um “subida” de
de
até
para
variando de
até
. Portanto uma descrição conveniente é:
Observação didática: poderíamos também parametrizar trocando a ordem (
de
a
e
de
a
), ambas são válidas; escolho
externo e
interno porque é direto a partir da forma
.
Passo 3
Agora pense no sólido
. Ele está “acima” de
e “abaixo” do plano
. Isso significa que, para cada ponto
, o
varia de
(o plano
) até
. Logo podemos escrever o integral triplo como um iterado integrando primeiro em
:
Aqui usei a ideia padrão: fixando
, integro em
entre as superfícies inferior e superior; depois integro sobre a base
.
Passo 4
Calcule o integral interno em
. Note que
e
são constantes quando integramos em
, logo
Explicação didática: integrar em
uma função que não depende de
é multiplicar essa função pelo comprimento do intervalo em
.
Passo 5
Substituindo na expressão dupla sobre
obtemos
Usando a descrição de
do Passo 2 com
variando de
a
e
de
a
, escrevemos o integral iterado:
Passo 6
Calcule o integral interno em
. Como
é constante nesta integração:
Observe a simplificação: os
cancelam, sobrando
.
Passo 7
Agora integramos em
:
Portanto o valor do integral triplo é
.