Em um sítio, em um rebanho de 35 bovinos, queremos formar grupos de animais escolhendo bovinos para ajudarem nas seguintes atividades do campo: um animal para arar a terra, outro para transportar pessoas e outro pra ser negociado. Responda quantas grupos diferentes podem ser formados, de acordo com os itens abaixo?
a) Encontre a resposta usando arranjos.
b) Encontre a resposta usando combinações e o princípio multiplicativo.

Passo 1

O enunciado diz: há um rebanho de 35 bovinos e queremos formar grupos de 3 animais, atribuindo a cada animal um papel distinto: um para arar a terra, outro para transportar pessoas e outro para ser negociado. Perguntas:
a) Calcular o número de grupos diferentes usando arranjos.
b) Calcular o número de grupos diferentes usando combinações e o princípio multiplicativo.
Informações relevantes: há 35 animais, escolhemos 3 distintos, não repetimos um animal em dois papéis, e os papéis são diferentes (logo a ordem importa).

Passo 2

Entendendo arranjos (o que o item a) pede). Um arranjo de n elementos tomados k a k é o número de maneiras de escolher e ordenar k elementos distintos dentre n. A fórmula geral é:
A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1. O fatorial conta o número de formas de ordenar n objetos. No nosso caso n=35 e k=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula de arranjos para n=35 e k=3:
A_{35,3}=\frac{35!}{(35-3)!}=\frac{35!}{32!}.
Ao cancelar 32! em cima e embaixo, sobra o produto dos três primeiros fatores decrescentes:
A_{35,3}=35\cdot34\cdot33.
Agora faço as contas passo a passo: 35\cdot34=1190 e 1190\cdot33=39270. Portanto, pelo método dos arranjos obtemos 39270 grupos.

Passo 4

Entendendo o princípio multiplicativo (uma forma direta para o item b). O princípio multiplicativo diz que, se para fazer uma escolha eu tenho a opções e depois, dado cada escolha anterior, tenho b opções, então o total de escolhas sequenciais é a\cdot b. Aqui podemos ver a escolha sequencial dos papéis: para o animal que irá arar há 35 opções; depois, para o que vai transportar, restam 34 animais; depois, para o que será negociado, restam 33. Pelo princípio multiplicativo:
35\cdot34\cdot33=39270.

Passo 5

Outra forma de usar combinações no item b (explicação didática). Primeiro escolhemos, sem ordem, um conjunto de 3 animais dentre 35: isso é uma combinação dada por
\binom{35}{3}=\frac{35!}{3!\,32!}.
Interpretação: isso conta quantos subconjuntos de tamanho 3 existem. Depois, como os papéis são distintos, para cada subconjunto de 3 animais podemos permutá-los entre os 3 papéis de 3! maneiras. Logo o total é
\binom{35}{3}\cdot 3!.
Calculo numérico: primeiro
\binom{35}{3}=\frac{35\cdot34\cdot33}{3\cdot2\cdot1}=\frac{39270}{6}=6545,
depois 3!=6, então 6545\cdot6=39270. Resultado igual ao obtido antes.

Passo 6

Resumo final e comentário de verificação: tanto usando arranjos quanto usando o princípio multiplicativo ou combinações seguidas de permutações, o número de grupos distintos (onde cada papel é ocupado por um animal diferente) é 39270. Dá pra confiar: os três métodos concordam.

Resposta

a) 39270
b) 39270

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