Em um sítio, em um rebanho de 35 bovinos, queremos formar grupos de animais escolhendo bovinos para ajudarem nas seguintes atividades do campo: um animal para arar a terra, outro para transportar pessoas e outro pra ser negociado. Responda quantas grupos diferentes podem ser formados, de acordo com os itens abaixo?
a) Encontre a resposta usando arranjos.
b) Encontre a resposta usando combinações e o princípio multiplicativo.
a) Encontre a resposta usando arranjos.
b) Encontre a resposta usando combinações e o princípio multiplicativo.
Passo 1
O enunciado diz: há um rebanho de
bovinos e queremos formar grupos de
animais, atribuindo a cada animal um papel distinto: um para arar a terra, outro para transportar pessoas e outro para ser negociado. Perguntas:
a) Calcular o número de grupos diferentes usando arranjos.
b) Calcular o número de grupos diferentes usando combinações e o princípio multiplicativo.
Informações relevantes: há animais, escolhemos
distintos, não repetimos um animal em dois papéis, e os papéis são diferentes (logo a ordem importa).
a) Calcular o número de grupos diferentes usando arranjos.
b) Calcular o número de grupos diferentes usando combinações e o princípio multiplicativo.
Informações relevantes: há
Passo 2
Entendendo arranjos (o que o item a) pede). Um arranjo de
elementos tomados
a
é o número de maneiras de escolher e ordenar
elementos distintos dentre
. A fórmula geral é:
onde
(lê-se “
fatorial”) é
. O fatorial conta o número de formas de ordenar
objetos. No nosso caso
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de arranjos para
e
:
Ao cancelar
em cima e embaixo, sobra o produto dos três primeiros fatores decrescentes:
Agora faço as contas passo a passo:
e
. Portanto, pelo método dos arranjos obtemos
grupos.
Passo 4
Entendendo o princípio multiplicativo (uma forma direta para o item b). O princípio multiplicativo diz que, se para fazer uma escolha eu tenho
opções e depois, dado cada escolha anterior, tenho
opções, então o total de escolhas sequenciais é
. Aqui podemos ver a escolha sequencial dos papéis: para o animal que irá arar há
opções; depois, para o que vai transportar, restam
animais; depois, para o que será negociado, restam
. Pelo princípio multiplicativo:
Passo 5
Outra forma de usar combinações no item b (explicação didática). Primeiro escolhemos, sem ordem, um conjunto de
animais dentre
: isso é uma combinação dada por
Interpretação: isso conta quantos subconjuntos de tamanho
existem. Depois, como os papéis são distintos, para cada subconjunto de
animais podemos permutá-los entre os
papéis de
maneiras. Logo o total é
Calculo numérico: primeiro
depois
, então
. Resultado igual ao obtido antes.
Passo 6
Resumo final e comentário de verificação: tanto usando arranjos quanto usando o princípio multiplicativo ou combinações seguidas de permutações, o número de grupos distintos (onde cada papel é ocupado por um animal diferente) é
. Dá pra confiar: os três métodos concordam.
Resposta
a)
b)
b)