Quando se analisa um sistema que descreve certa trajetória, é possível dizer que sua energia potencial está variando (Halliday; Resnick; Walker, 2013; Nussenzveig, 2002). Caso esteja agindo sobre esse sistema a força peso, o trabalho a ser calculado será referente ao tipo de força que descrevemos como força conservativa.
Considere a seguinte situação: três crianças resolveram criar um sistema de tubulação como uma forma de se comunicarem e lançarem objetos um ao outro. A tubulação tem início na janela de Paulo, que vive no quinto andar. Jessé e Pedro vivem, ambos, no terceiro andar, porém cada um no seu apartamento. Assim, o sistema de tubulação bifurca, encontrando chegada em cada uma das janelas de Jessé e de Pedro. Como as crianças estão aprendendo os conceitos de trabalho e energia na escola, resolveram indagar-se sobre o trabalho realizado para descer objetos do quinto andar até o terceiro.
Analise as afirmações a seguir e assinale V para verdadeira e F para falsa:
() Paulo disse que o trabalho realizado pela força peso sobre um objeto que desce é diferente em cada caminho.
() Jessé disse que o trabalho realizado pelo objeto que desce é o mesmo em ambos os caminhos.
() Pedro disse que o trabalho realizado será diferente apenas se forem lançados objetos de massas diferentes.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta.
\bigcirc A. V-F-F.
\bigcirc B. F-V-V.
\bigcirc C. V-V-F.
\bigcirc D. F-F-V.
\bigcirc E. F-V-F.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de tubulação que vai da janela de Paulo (quinto andar) e se bifurca em duas chegadas — uma na janela de Jessé (terceiro andar) e outra na janela de Pedro (terceiro andar). As crianças perguntam sobre o trabalho realizado pela força peso ao descer objetos do quinto para o terceiro andar. O enunciado fornece as três afirmações abaixo e pede que indiquemos quais são verdadeiras (V) ou falsas (F):
() Paulo: o trabalho realizado pela força peso sobre um objeto que desce é diferente em cada caminho.
() Jessé: o trabalho realizado pelo objeto que desce é o mesmo em ambos os caminhos.
() Pedro: o trabalho realizado será diferente apenas se forem lançados objetos de massas diferentes.
Informações relevantes dadas (lista clara):
  • Paulo mora no quinto andar e Jessé e Pedro no terceiro andar; portanto o ponto inicial (quinto andar) e os pontos finais (terceiro andar) têm a mesma diferença vertical para as duas chegadas.
  • A força que age é a força peso (força gravitacional próxima à superfície da Terra).
  • A pergunta é sobre o trabalho realizado pela força peso ao descer de um mesmo ponto inicial para pontos finais situados no mesmo nível vertical.

Passo 2

Definição e conceito de trabalho de uma força (aula rápida e prática).
O trabalho realizado por uma força \vec{F} ao deslocar um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral ao longo da trajetória:
W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \vec{F} é a força em cada ponto, d\vec{r} é um elemento de deslocamento ao longo da curva \mathcal{C}, e o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} pega a componente da força ao longo do deslocamento — só essa componente “faz trabalho”. Essa é a fórmula geral; agora vamos aplicá-la ao caso da força peso, em que as coisas simplificam bastante.

Passo 3

Força peso em campo gravitacional uniforme e sua expressão prática.
Perto da superfície terrestre, a força peso pode ser considerada uniforme e vertical. Se adotarmos o eixo vertical y para cima, a força peso é
\vec{F}_g = -m g \,\hat{y},
onde \;m\; é a massa do objeto e \;g\; é a intensidade da aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2). Explico as letras: \;m\; é quanto “material” o objeto tem (massa), \;g\; é fixo e \hat{y} é o versor para cima; o sinal negativo indica que a força aponta para baixo.

Passo 4

Cálculo do trabalho da força peso entre duas alturas (derivação passo a passo).
Considere um deslocamento qualquer desde a posição inicial com coordenada vertical \;y_i\; até a posição final com coordenada vertical \;y_f\;. A integral do trabalho fica
W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}_g\cdot d\vec{r} = \int_{\mathcal{C}}(-m g \,\hat{y})\cdot (dx\,\hat{x}+dy\,\hat{y}+dz\,\hat{z}).
O produto escalar isola somente a componente vertical:
\vec{F}_g\cdot d\vec{r} = -m g\, dy.
Integrando desde y_i até y_f,
W = -m g \int_{y_i}^{y_f} dy = -m g (y_f-y_i).
Rearrumando,
W = m g (y_i-y_f).
Interpretação: o trabalho da força peso depende só da massa m, da gravidade g (constante) e da diferença vertical y_i-y_f. Não aparece na expressão nenhuma informação sobre qual curva ou caminho específico \mathcal{C} foi percorrido — portanto, para esse campo, o trabalho é independente do caminho e depende apenas das posições inicial e final.

Passo 5

Aplicando ao caso real (Paulo no quinto, Jessé e Pedro no terceiro).
  • As duas chegadas (janela de Jessé e janela de Pedro) estão no mesmo andar (terceiro), logo têm a mesma coordenada vertical final \;y_f\; (assumindo andares com mesma altura). A posição inicial (quinto andar) tem a mesma coordenada vertical \;y_i\; independentemente de qual ramo da tubulação se use.
  • Pela fórmula \;W=m g (y_i-y_f)\;, o trabalho realizado pela força peso ao descer do quinto ao terceiro andar é o mesmo para qualquer caminho que faça essa descida, desde que a massa do objeto seja a mesma. Ou seja, o trabalho é independente do caminho (propriedade de força conservativa) e é igual a m g vezes a altura percorrida verticalmente.
Exemplo numérico rápido para fixar: suponha \;m=0{,}5\\ \text{kg} e a altura entre andares tal que y_i-y_f=6{,}0\\ \text{m}. Então
W = m g (y_i-y_f) = 0{,}5\cdot 9{,}8 \cdot 6{,}0 = 29{,}4\\ \text{J}.
Se usar outro caminho (mais curvo) mas com mesma queda vertical e mesma massa, o resultado será novamente 29{,}4\\ \text{J}.

Passo 6

Análise das três afirmações e conclusão sobre V/F (explicando com linguagem leve).
  • Paulo: “o trabalho realizado pela força peso sobre um objeto que desce é diferente em cada caminho.”
    Pelo raciocínio anterior, isso é falso. Para a força peso (campo gravitacional uniforme) o trabalho só depende da queda vertical e da massa, não do caminho. Logo Paulo está enganado. (F)
  • Jessé: “o trabalho realizado pelo objeto que desce é o mesmo em ambos os caminhos.”
    Isso está correto: ambas as bifurcações terminam no mesmo nível (terceiro andar) e partem do mesmo nível (quinto andar), então, para o mesmo objeto (mesma massa), o trabalho da força peso é igual nos dois caminhos. Jessé está certo. (V)
  • Pedro: “o trabalho realizado será diferente apenas se forem lançados objetos de massas diferentes.”
    Interpretando literalmente: Pedro afirma que a única razão para obter trabalhos diferentes ao comparar duas descidas seria usar objetos com massas diferentes. Isso está correto no contexto: se você compara os valores do trabalho para dois objetos que descem do mesmo ponto inicial ao mesmo ponto final, o trabalho escala com a massa ( W\propto m). Portanto, se as massas forem diferentes, os valores de W serão diferentes; se as massas forem iguais, W será o mesmo mesmo que os caminhos sejam diferentes. Assim a afirmação de Pedro é verdadeira. (V)

Passo 7

Resposta final em termos da sequência pedida (resumo rápido e incentivo).
Resumo: Paulo errou por pensar que o caminho altera o trabalho da força peso; Jessé acertou; Pedro também acertou ao notar que variar a massa é uma razão para obter trabalhos diferentes. Você mandou bem em pedir a resolução passo a passo — fixar a fórmula W=m g (y_i-y_f) resolve muita dúvida em provas. Força, estuda mais um pouco que tá indo bem!

Resposta

B. F-V-V

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