Enquanto percorre uma curva circular horizontal, para evitar bater no carro da frente, o motorista de um automóvel aciona os freios. A força resultante sobre este automóvel pode ser decomposta nas componentes tangencial e centrípeta ao movimento. Seja W_{T A N} o trabalho realizado pela componente tangencial desta força e W_{C P T} o trabalho da componente centrípeta desta força. Considerando a situação descrita, assinale a alternativa correta:
(a) W_{T A N}>0 e W_{C P T}>0
(b) W_{T A N}=0 e W_{C P T}>0
(c) W_{T A N}<0 e W_{C P T}>0
(d) W_{T A N}>0 e W_{C P T}=0

Passo 1

O enunciado descreve um automóvel que percorre uma curva circular horizontal e o motorista aciona os freios para evitar bater no carro da frente. Foi definida a decomposição da força resultante em duas componentes: a tangencial e a centrípeta. As quantidades pedidas são o trabalho realizado por cada componente:
\;W_{TAN} = trabalho realizado pela componente tangencial da força resultante,
\;W_{CPT} = trabalho realizado pela componente centrípeta da força resultante.
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(d), a que expressa corretamente o sinal (positivo, negativo ou zero) de \;W_{TAN} e de \;W_{CPT}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é trabalho mecânico e como calcular o sinal do trabalho. Definição elementar: o trabalho elementar realizado por uma força \vec{F} quando o ponto de aplicação se desloca de forma infinitesimal \mathrm{d}\vec{r} é
\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.
Aqui o ponto importante é o produto escalar: \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F\,\mathrm{d}r\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento. Consequências práticas:
  • Se \theta=0^\circ (força e deslocamento no mesmo sentido), então \cos\theta=1 e o trabalho é positivo.
  • Se \theta=180^\circ (força e deslocamento em sentidos opostos), então \cos\theta=-1 e o trabalho é negativo.
  • Se \theta=90^\circ (força perpendicular ao deslocamento), então \cos\theta=0 e o trabalho é zero.

Passo 3

Identificando a direção do deslocamento no movimento circular: no instante considerado, o deslocamento infinitesimal está sempre na direção tangencial à curva (sentido da velocidade instantânea). Portanto qualquer componente de força tangencial será paralela ou antiparalela ao \mathrm{d}\vec{r}, e qualquer componente radial (centrípeta) será perpendicular a \mathrm{d}\vec{r}.

Passo 4

Analisando a componente tangencial \vec{F}_{tan}: ao frear, a força tangencial resultante tem sentido oposto ao da velocidade (o atrito/freio “puxa” para trás). Isso significa que, para a tangente, o ângulo entre \vec{F}_{tan} e \mathrm{d}\vec{r} é \theta=180^\circ. Pelas regras do produto escalar,
\vec{F}_{tan}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_{tan}\,\mathrm{d}r\cos(180^\circ)=-F_{tan}\,\mathrm{d}r.
Integrando ao longo do deslocamento finite, obtemos
W_{TAN}=\int \vec{F}_{tan}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int F_{tan}\,\mathrm{d}r,
ou seja, enquanto houver deslocamento na curva e \;F_{tan}>0 em módulo, o trabalho é negativo. Intuição física: o trabalho negativo pela componente tangencial representa perda de energia cinética (o carro desacelera).

Passo 5

Analisando a componente centrípeta \vec{F}_{cpt}: esta componente aponta radialmente para o centro da curva. Como dito no Passo 3, o deslocamento instantâneo é tangencial, logo \vec{F}_{cpt} é perpendicular a \mathrm{d}\vec{r}. Assim, \theta=90^\circ e
\vec{F}_{cpt}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_{cpt}\,\mathrm{d}r\cos(90^\circ)=0.
Integrando ao longo do movimento, cada contribuição é zero, logo
W_{CPT}=\int \vec{F}_{cpt}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=0.
Intuitivamente: a força centrípeta muda apenas a direção da velocidade, não o módulo; portanto não realiza trabalho.

Passo 6

Conclusão física direta dos passos anteriores:
W_{TAN}<0\qquad\text{e}\qquad W_{CPT}=0.
Agora comparo com as alternativas propostas. Nenhuma das alternativas (a)–(d) apresenta exatamente esse par de sinais. A alternativa (d) tem W_{CPT}=0 mas indica W_{TAN}>0, que contraria o fato físico de que, ao frear, a componente tangencial realiza trabalho negativo. Portanto as alternativas fornecidas estão inconsistentes com a análise física correta.

Resposta

Nenhuma das alternativas — W_{TAN}<0 e W_{CPT}=0

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