Forças conservativas são aquelas que realizam trabalhos independentes do caminho. Esse tipo de força pode aparecer em alguns contextos diferentes, como a força peso, por exemplo, ou uma força eletrostática (Halliday; Resnick; Walker, 2013; Nussenzveig, 2002).
Considere duas partículas que interagem entre si a partir de forças conservativas. Nesse caso, existirá também uma força externa agindo sobre cada partícula. Tais partículas percorrem trajetórias fechadas, ambas voltando ao ponto de onde iniciaram o trajeto.
Para esse contexto, assinale a alternativa que evidencia a(s) grandeza(s) cujo valor no início e no final do processo é o mesmo:
\bigcirc A. A energia cinética total do sistema de duas partículas.
\bigcirc B. A energia mecânica do sistema de duas partículas.
\bigcirc C. O momento linear total do sistema de duas partículas.
\bigcirc D. A energia potencial do sistema de duas partículas.
\bigcirc E. A energia cinética e a energia potencial juntas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente escolha qual grandeza tem o mesmo valor no instante inicial e no instante final (os dois pontos são iguais espacialmente, ou seja, cada partícula retorna ao ponto onde começou):
  • Duas partículas interagem entre si por forças conservativas (forças internas do par).
  • Além disso, há uma força externa atuando sobre cada partícula (essas forças externas não foram qualificadas como conservativas).
  • Ambas as partículas percorrem trajetórias fechadas, ou seja, cada partícula volta à sua posição inicial ao final do processo.
  • A pergunta: qual(is) das alternativas apresenta(m) uma grandeza cujo valor no início e no final do processo é o mesmo?
As alternativas são: (A) energia cinética total do sistema; (B) energia mecânica do sistema; (C) momento linear total do sistema; (D) energia potencial do sistema; (E) energia cinética e a energia potencial juntas.

Passo 2

Entendendo o que significa “força conservativa” — conceito e fórmula básica.
  • Uma força é chamada de conservativa quando o trabalho realizado por ela entre dois pontos depende somente da posição inicial e final, e não do caminho tomado entre esses pontos.
  • Consequência importante: o trabalho realizado por uma força conservativa ao longo de um caminho fechado é zero.
  • Existe uma função potencial U associada à força conservativa tal que o trabalho realizado por essa força quando o sistema vai de um estado i para um estado f é
W_{\text{cons}} = -\Delta U = -\bigl(U_f - U_i\bigr).
  • Aqui U é a energia potencial (do par de partículas, se a força é a interação entre elas). Variáveis: U_i é U no instante inicial e U_f no final.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso sistema: energia potencial do sistema de duas partículas.
  • A interação entre as duas partículas é por forças conservativas, então existe uma energia potencial U do sistema que depende da configuração (posições relativas) das partículas.
  • O enunciado diz explicitamente que cada partícula volta à posição inicial — portanto a configuração final é igual à configuração inicial.
  • Como U depende apenas da configuração e a configuração final é a mesma da inicial, temos
\Delta U = U_{\text{final}} - U_{\text{inicial}} = 0.
  • Conclusão parcial: a energia potencial do sistema tem o mesmo valor no início e no fim. Isso já indica que a alternativa (D) é verdadeira.

Passo 4

Vamos verificar por que as outras alternativas não são garantidas: energia cinética total e energia mecânica.
  • Teorema trabalho-energia para o sistema (forma global): a variação da energia cinética total K do sistema é igual ao trabalho total realizado sobre o sistema por todas as forças:
\Delta K = W_{\text{total}} = W_{\text{internas}} + W_{\text{externas}}.
  • Para forças internas conservativas, a soma dos trabalhos internos sobre todo o sistema está relacionada à variação de U por
W_{\text{internas}} = -\Delta U.
  • Como vimos, \Delta U=0, então W_{\text{internas}}=0 sobre o processo fechado. Logo
\Delta K = W_{\text{externas}}.
  • As forças externas podem fazer trabalho não nulo. Como o enunciado não diz que as forças externas são nulas nem conservativas, W_{\text{externas}} pode ser diferente de zero, então \Delta K não é necessariamente zero. Assim, a energia cinética total não é garantida como igual no início e no fim — alternativa (A) pode falhar.
  • Energia mecânica do sistema é E_{\text{mec}} = K + U. A variação é
\Delta E_{\text{mec}} = \Delta K + \Delta U = W_{\text{externas}} + 0 = W_{\text{externas}}.
  • De novo, se W_{\text{externas}}\neq 0 a energia mecânica muda. Logo alternativa (B) também não é garantida. A alternativa (E) é equivalente a (B) e também não é garantida.

Passo 5

Analisando o momento linear total do sistema.
  • Lei do impulso-momento: a variação do momento linear total \vec{P} do sistema é igual ao impulso devido à força externa resultante:
\Delta \vec{P} = \int \vec{F}_{\text{ext,\,resultante}}\,dt.
  • Como há forças externas agindo sobre as partículas e o enunciado não diz que a soma das forças externas ao longo do tempo é zero, não temos garantia de que \Delta \vec{P}=0.
  • Portanto o momento linear total do sistema não é necessariamente o mesmo no início e no final. Alternativa \text{(C)} não é garantida.

Passo 6

Resumo lógico e conclusão final.
  • Só a energia potencial do sistema é assegurada como igual no início e no fim, porque depende apenas da configuração e as partículas retornaram às posições iniciais, o que implica \Delta U=0.
  • Energia cinética total, energia mecânica e momento linear total podem mudar devido ao trabalho/impulso das forças externas (não especificadas como nulas ou conservativas), então não podemos afirmar que elas permanecem iguais.

Resposta

D.

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