Quando analisamos a série ímpar da solução da equação diferencial de Hermite, concluímos que ela pode ser escrita como
H_{m}(x)=a_{1} \sum_{n=0}^{\frac{m-1}{2}} \frac{(-1)^{n} 2^{n}}{(2 n+1)!} \frac{(m-1)!!}{[m-(2 n+1)]!!} x^{2 n+1}
onde m é uma constante ímpar. Então, definindo m=2 k+1 e definindo apropriadamente a constante a_{1}, mostre que os polinômios de Hermite podem ser escritos como
H_{m}(x)=\sum_{\ell=0}^{\frac{m-1}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(m-2 \ell)!} \frac{m!}{\ell!}(2 x)^{m-2 \ell}

Passo 1

O enunciado dá a expressão da solução ímpar em série
H_{m}(x)=a_{1} \sum_{n=0}^{\frac{m-1}{2}} \frac{(-1)^{n} 2^{n}}{(2 n+1)!} \frac{(m-1)!!}{[m-(2 n+1)]!!} x^{2 n+1},
onde m é ímpar. Pede-se mostrar que, definindo m=2k+1 e escolhendo adequadamente a constante a_{1}, essa série pode ser reescrita como
H_{m}(x)=\sum_{\ell=0}^{\frac{m-1}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(m-2 \ell)!} \frac{m!}{\ell!}(2 x)^{m-2 \ell}.
Informações relevantes do enunciado:
  • m é ímpar, logo pode ser escrito como m=2k+1 com k\in\mathbb{Z}_{\ge0}.
  • A soma original tem índice n que vai de 0 até \dfrac{m-1}{2}=k.
  • É permitido escolher a_{1} (constante multiplicativa) de forma conveniente para obter a forma desejada.

Passo 2

Primeiro substitui-se m=2k+1. Então o índice n varia de 0 a k e a potência x^{2n+1} permanece. Vamos reescrever os duplos fatoriais que aparecem, porque eles serão simplificados em termos de fatoriais normais.

Passo 3

Duplos fatoriais: lembrar e justificar duas identidades úteis (válidas para inteiros não-negativos r):
(2r)!! = 2^{r} r!,\qquad (2r+1)!!=\frac{(2r+1)!}{2^{r} r!}.
Rápida explicação: expandindo definição,
(2r)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2r)=2^{r}(1\cdot2\cdot3\cdots r)=2^{r} r!.
E
(2r+1)!!=(2r+1)\cdot(2r-1)\cdots1=\frac{(2r+1)!}{2^{r} r!},
porque multiplicando (2r+1)!! por (2r)!!=2^{r}r! recupera (2r+1)!.

Passo 4

Aplique as identidades ao termo \dfrac{(m-1)!!}{[m-(2n+1)]!!} com m=2k+1. Temos
(m-1)!!=(2k)!!=2^{k}k!,
e
m-(2n+1)=2k+1-(2n+1)=2(k-n),
logo
[m-(2n+1)]!!=(2(k-n))!!=2^{\,k-n}(k-n)!.
Portanto
\frac{(m-1)!!}{[m-(2n+1)]!!}=\frac{2^{k}k!}{2^{\,k-n}(k-n)!}=2^{n}\frac{k!}{(k-n)!}.

Passo 5

Substituindo essa simplificação na soma original obtemos
H_{m}(x)=a_{1}\sum_{n=0}^{k}\frac{(-1)^{n}2^{n}}{(2n+1)!}\left(2^{n}\frac{k!}{(k-n)!}\right)x^{2n+1}.
Reagrupando potências de 2 e fatoriais,
H_{m}(x)=a_{1}\sum_{n=0}^{k}(-1)^{n}\frac{2^{2n}k!}{(2n+1)!(k-n)!}x^{2n+1}.

Passo 6

Faremos uma mudança de índice para chegar ao formato com expoentes do tipo m-2\ell. Defina
\ell=k-n.
Quando n=0 tem \ell=k; quando n=k tem \ell=0. Reescrevendo a soma na ordem \ell=0,1,\dots,k (inverter a ordem da soma não altera o valor) e substituindo n=k-\ell, obtemos:
  • o sinal (-1)^{n}=(-1)^{k-\ell}=(-1)^{k}(-1)^{\ell},
  • 2^{2n}=2^{2(k-\ell)}=2^{2k-2\ell},
  • 2n+1=2(k-\ell)+1=m-2\ell,
  • (k-n)!=(k-(k-\ell))!=\ell!,
  • x^{2n+1}=x^{m-2\ell}.
Assim a soma fica
H_{m}(x)=a_{1}\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{k}(-1)^{\ell}\frac{2^{2k-2\ell}k!}{(m-2\ell)!\,\ell!}x^{m-2\ell}.

Passo 7

Isolar as potências de 2 convenientemente: escreva 2^{2k-2\ell}=2^{m-2\ell-1}, porque m=2k+1 implica 2k= m-1 e então 2^{2k-2\ell}=2^{m-1-2\ell}=2^{m-2\ell-1}. Assim
H_{m}(x)=a_{1}(-1)^{k}\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{\ell}\frac{2^{m-2\ell-1}k!}{(m-2\ell)!\,\ell!}x^{m-2\ell}.
Agrupando 2^{m-2\ell-1}x^{m-2\ell}=\tfrac{1}{2}2^{m-2\ell}x^{m-2\ell}=\tfrac{1}{2}(2x)^{m-2\ell}, obtemos
H_{m}(x)=\left[a_{1}(-1)^{k}\frac{1}{2}k!\right]\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{\ell}\frac{(2x)^{m-2\ell}}{(m-2\ell)!\,\ell!}.

Passo 8

Queremos que o coeficiente da soma seja exatamente \dfrac{m!}{\ell!}\dfrac{(-1)^{\ell}}{(m-2\ell)!}(2x)^{m-2\ell}, isto é, comparação termo a termo pede que
\left[a_{1}(-1)^{k}\frac{1}{2}k!\right]\cdot\frac{1}{(m-2\ell)!\,\ell!} = \frac{m!}{(m-2\ell)!\,\ell!}.
Como o lado esquerdo não depende de \ell além dos fatoriais que cancelam, basta igualar as constantes:
a_{1}(-1)^{k}\frac{1}{2}k! = m!.
Dessa equação segue a escolha conveniente de a_{1}:
a_{1}=2(-1)^{k}\frac{m!}{k!}.
Com essa escolha, a expressão para H_{m}(x) torna-se exatamente
H_{m}(x)=\sum_{\ell=0}^{k}\frac{(-1)^{\ell}}{(m-2\ell)!}\frac{m!}{\ell!}(2x)^{m-2\ell}.

Passo 9

Como k=\dfrac{m-1}{2}, podemos escrever o somatório até \ell=\dfrac{m-1}{2} e assim obtemos a forma desejada dos polinômios de Hermite:
H_{m}(x)=\sum_{\ell=0}^{\frac{m-1}{2}}\frac{(-1)^{\ell}}{(m-2\ell)!}\frac{m!}{\ell!}(2x)^{m-2\ell}.

Resposta

H_{m}(x)=\sum_{\ell=0}^{\frac{m-1}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(m-2 \ell)!} \frac{m!}{\ell!}(2 x)^{m-2 \ell}

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