Quando analisamos a série ímpar da solução da equação diferencial de Hermite, concluímos que ela pode ser escrita como
onde
é uma constante ímpar. Então, definindo
e definindo apropriadamente a constante
, mostre que os polinômios de Hermite podem ser escritos como
Passo 1
O enunciado dá a expressão da solução ímpar em série
onde
é ímpar. Pede-se mostrar que, definindo
e escolhendo adequadamente a constante
, essa série pode ser reescrita como
Informações relevantes do enunciado:
-
é ímpar, logo pode ser escrito como com . - A soma original tem índice
que vai de até . - É permitido escolher
(constante multiplicativa) de forma conveniente para obter a forma desejada.
Passo 2
Primeiro substitui-se
. Então o índice
varia de
a
e a potência
permanece. Vamos reescrever os duplos fatoriais que aparecem, porque eles serão simplificados em termos de fatoriais normais.
Passo 3
Duplos fatoriais: lembrar e justificar duas identidades úteis (válidas para inteiros não-negativos
):
Rápida explicação: expandindo definição,
E
porque multiplicando
por
recupera
.
Passo 4
Aplique as identidades ao termo
com
. Temos
e
logo
Portanto
Passo 5
Substituindo essa simplificação na soma original obtemos
Reagrupando potências de
e fatoriais,
Passo 6
Faremos uma mudança de índice para chegar ao formato com expoentes do tipo
. Defina
Quando
tem
; quando
tem
. Reescrevendo a soma na ordem
(inverter a ordem da soma não altera o valor) e substituindo
, obtemos:
- o sinal
, -
, -
, -
, -
.
Assim a soma fica
Passo 7
Isolar as potências de
convenientemente: escreva
, porque
implica
e então
. Assim
Agrupando
, obtemos
Passo 8
Queremos que o coeficiente da soma seja exatamente
, isto é, comparação termo a termo pede que
Como o lado esquerdo não depende de
além dos fatoriais que cancelam, basta igualar as constantes:
Dessa equação segue a escolha conveniente de
:
Com essa escolha, a expressão para
torna-se exatamente
Passo 9
Como
, podemos escrever o somatório até
e assim obtemos a forma desejada dos polinômios de Hermite: