Os polinômios de Legendre são definidos por
onde
representa o maior inteiro menor ou igual a
, mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a definição dos polinômios de Legendre:
e pede para mostrar explicitamente os polinômios
Informações importantes dadas:
- O somatório vai de
até (o maior inteiro ), portanto em cada caso só aparecem poucos termos. - Convenção usual:
. - A expressão do termo genérico envolve fatores fatoriais e uma potência
; como no intervalo de somatório, não haverá potências negativas.
Passo 2
Explicando o termo genérico da soma, para cada
temos
O que cada coisa significa:
-
dá o sinal alternado conforme . -
é apenas potência de 2 no denominador afetando todas as parcelas. -
e são fatoriais; lembre que e . -
aparece no denominador; para pequenos esses valores são fáceis de calcular. - O expoente de
é .
Ao calcular para cadaconcreto, substitui-se o valor de , avalia-se o limite superior e soma-se os termos correspondentes.
Passo 3
Cálculo de
.
Aqui
. O limite superior é
, portanto só existe o termo
.
Substituindo em :
Substituindo em
Avalia cada peça:
Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
Aqui
. O limite superior é
, então só
.
Substituindo:
Substituindo:
Calcule peça a peça:
Então
Logo
Passo 5
Cálculo de
.
Aqui
. O limite superior é
, então aparecem
e
.
Primeiro :
Primeiro
Avalia:
Logo
Agora
:
Avalia:
Logo
Somando os termos:
Passo 6
Cálculo de
.
Aqui
. O limite superior é
, então aparecem
e
.
Primeiro :
Primeiro
Avalia:
Então
Agora
:
Avalia:
Logo
Somando: