Os polinômios de Legendre são definidos por
P_{\ell}(x)=\sum_{n=0}^{[\ell / 2]} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ell}} \frac{(2 \ell-2 n)!}{n!(\ell-n)!} \frac{x^{\ell-2 n}}{(\ell-2 n)!}
onde [\ell / 2] representa o maior inteiro menor ou igual a \ell / 2, mostre que
\begin{gathered} P_{0}(x)=1 \\\ P_{1}(x)=x \\\ P_{2}(x)=\frac{3 x^{2}}{2}-\frac{1}{2} \\\ P_{3}(x)=\frac{5 x^{3}}{2}-\frac{3 x}{2} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá a definição dos polinômios de Legendre:
P_{\ell}(x)=\sum_{n=0}^{[\ell / 2]} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ell}} \frac{(2 \ell-2 n)!}{n!(\ell-n)!} \frac{x^{\ell-2 n}}{(\ell-2 n)!}
e pede para mostrar explicitamente os polinômios
P_{0}(x),\; P_{1}(x),\; P_{2}(x),\; P_{3}(x).
Informações importantes dadas:
  • O somatório vai de n=0 até [\ell/2] (o maior inteiro \le \ell/2), portanto em cada caso só aparecem poucos termos.
  • Convenção usual: 0!=1.
  • A expressão do termo genérico envolve fatores fatoriais e uma potência x^{\ell-2n}; como \ell-2n\ge0 no intervalo de somatório, não haverá potências negativas.

Passo 2

Explicando o termo genérico da soma, para cada n temos
\text{termo}(n)=\frac{(-1)^{n}}{2^{\ell}}\cdot\frac{(2\ell-2n)!}{n!(\ell-n)!}\cdot\frac{x^{\ell-2n}}{(\ell-2n)!}.
O que cada coisa significa:
  • (-1)^n dá o sinal alternado conforme n.
  • 2^{\ell} é apenas potência de 2 no denominador afetando todas as parcelas.
  • (2\ell-2n)! e (\ell-2n)! são fatoriais; lembre que (k)! = k\cdot(k-1)\cdots1 e 0!=1.
  • n!(\ell-n)! aparece no denominador; para pequenos \ell esses valores são fáceis de calcular.
  • O expoente de x é \ell-2n.
    Ao calcular para cada \ell concreto, substitui-se o valor de \ell, avalia-se o limite superior [\ell/2] e soma-se os termos correspondentes.

Passo 3

Cálculo de P_{0}(x).
Aqui \ell=0. O limite superior é [\tfrac{0}{2}]=0, portanto só existe o termo n=0.
Substituindo em \text{termo}(n):
\text{termo}(0)=\frac{(-1)^{0}}{2^{0}}\cdot\frac{(2\cdot0-0)!}{0!(0-0)!}\cdot\frac{x^{0-0}}{(0-0)!}.
Avalia cada peça:
\frac{(-1)^{0}}{2^{0}}=1,\quad (2\cdot0-0)!=0!=1,\quad 0!=1,\quad x^{0}=1.
Portanto
P_{0}(x)=1.

Passo 4

Cálculo de P_{1}(x).
Aqui \ell=1. O limite superior é [\tfrac{1}{2}]=0, então só n=0.
Substituindo:
\text{termo}(0)=\frac{(-1)^{0}}{2^{1}}\cdot\frac{(2\cdot1-0)!}{0!(1-0)!}\cdot\frac{x^{1-0}}{(1-0)!}.
Calcule peça a peça:
\frac{(-1)^{0}}{2^{1}}=\frac{1}{2},\quad (2\cdot1)! = 2! = 2,\quad 0!=1,\quad (1-0)!=1!,\quad x^{1}=x,\quad (1-0)!=1!.
Então
\text{termo}(0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1\cdot1}\cdot\frac{x}{1}=\frac{1}{2}\cdot 2x = x.
Logo
P_{1}(x)=x.

Passo 5

Cálculo de P_{2}(x).
Aqui \ell=2. O limite superior é [\tfrac{2}{2}]=1, então aparecem n=0 e n=1.
Primeiro n=0:
\text{termo}(0)=\frac{(-1)^{0}}{2^{2}}\cdot\frac{(2\cdot2-0)!}{0!(2-0)!}\cdot\frac{x^{2-0}}{(2-0)!}.
Avalia:
\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4},\quad (4)! = 24,\quad 0!=1,\quad(2)! =2,\quad x^{2},\quad(2)! =2.
Logo
\text{termo}(0)=\frac{1}{4}\cdot\frac{24}{1\cdot2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{1}{4}\cdot 12\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{1}{4}\cdot 6x^{2}=\frac{3}{2}x^{2}.
Agora n=1:
\text{termo}(1)=\frac{(-1)^{1}}{2^{2}}\cdot\frac{(2\cdot2-2)!}{1!(2-1)!}\cdot\frac{x^{2-2}}{(2-2)!}.
Avalia:
\frac{(-1)}{4},\quad (2)! =2,\quad 1!=1,\quad(1)! =1,\quad x^{0}=1,\quad 0!=1.
Logo
\text{termo}(1)=\frac{-1}{4}\cdot\frac{2}{1\cdot1}\cdot\frac{1}{1}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.
Somando os termos:
P_{2}(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}.

Passo 6

Cálculo de P_{3}(x).
Aqui \ell=3. O limite superior é [\tfrac{3}{2}]=1, então aparecem n=0 e n=1.
Primeiro n=0:
\text{termo}(0)=\frac{(-1)^{0}}{2^{3}}\cdot\frac{(2\cdot3-0)!}{0!(3-0)!}\cdot\frac{x^{3-0}}{(3-0)!}.
Avalia:
\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8},\quad (6)!=720,\quad 0!=1,\quad 3!=6,\quad x^{3},\quad 3!=6.
Então
\text{termo}(0)=\frac{1}{8}\cdot\frac{720}{1\cdot6}\cdot\frac{x^{3}}{6}=\frac{1}{8}\cdot 120\cdot\frac{x^{3}}{6}=\frac{1}{8}\cdot 20x^{3}=\frac{5}{2}x^{3}.
Agora n=1:
\text{termo}(1)=\frac{(-1)^{1}}{2^{3}}\cdot\frac{(2\cdot3-2)!}{1!(3-1)!}\cdot\frac{x^{3-2}}{(3-2)!}.
Avalia:
\frac{-1}{8},\quad (4)! =24,\quad 1!=1,\quad(2)! =2,\quad x^{1}=x,\quad 1!=1.
Logo
\text{termo}(1)=\frac{-1}{8}\cdot\frac{24}{1\cdot2}\cdot\frac{x}{1}=\frac{-1}{8}\cdot 12x = -\frac{12}{8}x = -\frac{3}{2}x.
Somando:
P_{3}(x)=\frac{5}{2}x^{3}-\frac{3}{2}x.

Resposta

P_{0}(x)=1
P_{1}(x)=x
P_{2}(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}
P_{3}(x)=\frac{5}{2}x^{3}-\frac{3}{2}x

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