Analisando a massa corporal de uma turma de natação, temos a seguinte frequência:
Massa corporal Fi (Frequência Absoluta)
40+50 15
50+60 18
60+70 12
70+80 10
80+-90 9
Total 64
Qual a mediana?

Passo 1

O enunciado pede a mediana da massa corporal de uma turma de natação. Informações dadas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Massa corporal} & \text{Fi} \\\ \hline 40+50 & 15\\\\ 50+60 & 18\\\\ 60+70 & 12\\\\ 70+80 & 10\\\\ 80+90 & 9\\\ \hline \text{Total} & 64 \end{array}
Resumo das informações importantes:
  • O total de observações é \;n=64.
  • As classes estão em intervalos de amplitude (largura) igual a 10 (cada classe cobre 10 unidades: 40 50, 50 60, …).
  • As frequências absolutas de cada classe são \;15,\;18,\;12,\;10,\;9.
    A pergunta é: qual é a mediana da distribuição de massas?

Passo 2

O que é a mediana em uma distribuição agrupada e a fórmula usada.
  • A mediana é o valor que deixa metade dos indivíduos abaixo dele e metade acima. Para n observações, a posição mediana é \frac{n}{2}.
  • Para dados agrupados em classes, usamos a fórmula da mediana por interpolação linear dentro da classe mediana:
M = L + \frac{\left(\frac{n}{2}-F_b\right)}{f_m}\cdot h
onde:
  • M é a mediana que queremos encontrar;
  • L é o limite inferior da classe mediana (o ponto de partida dessa classe);
  • \frac{n}{2} é a metade do total de observações;
  • F_b é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana (ou seja, soma das frequências das classes que vêm antes);
  • f_m é a frequência da classe mediana;
  • h é a amplitude (largura) da classe.
    Vou explicar cada peça quando for usar.

Passo 3

Calcular \frac{n}{2} e as frequências acumuladas para identificar a classe mediana.
\frac{n}{2}=\frac{64}{2}=32.
Agora as frequências acumuladas (soma sucessiva das Fi):
  • Após a primeira classe 40+50: 15 (acumulada = 15).
  • Após a segunda classe 50+60: 15+18=33 (acumulada = 33).
    Observação: como \frac{n}{2}=32 e a acumulada atinge 33 na segunda classe, a segunda classe \;50+60 é a classe mediana (é nela que a posição 32 está localizada).
Portanto:
  • a classe mediana é \;50+60;
  • a frequência acumulada antes dessa classe é F_b=15 (soma apenas da primeira classe);
  • a frequência da classe mediana é f_m=18;
  • a amplitude é h=10.
Sobre o limite inferior L: vou tomar L=50 como o limite inferior da classe \;50+60 (interpretação usual quando as classes são apresentadas como 50+60). Se você usar correção de continuidade (limite real 49{,}5) a diferença no resultado é pequena; aqui uso L=50.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo.
A fórmula:
M = L + \frac{\left(\frac{n}{2}-F_b\right)}{f_m}\cdot h
Substituindo os valores que já temos:
M = 50 + \frac{(32-15)}{18}\cdot 10.
Calcule o numerador da fração:
32-15=17.
Então
M = 50 + \frac{17}{18}\cdot 10.
Multiplicando:
\frac{17}{18}\cdot 10 = \frac{170}{18} = \frac{85}{9}.
Como número decimal:
\frac{85}{9}\approx 9{,}444\ldots
Portanto
M = 50 + \frac{85}{9} = \frac{450+85}{9}=\frac{535}{9}\approx 59{,}444\ldots
Se preferir ver com correção de continuidade (opcional): usando L=49{,}5 daria M\approx 58{,}944, uma diferença pequena de 0{,}5. Mantemos aqui o resultado com L=50.

Passo 5

Interpretação final: a mediana encontrada está dentro da classe mediana 50 60, como esperado. O valor numérico aproximado da mediana é 59{,}44 (kg).

Resposta

\displaystyle M\approx 59{,}44\\ \text{kg}

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