Analisando a sua resposta pode-se afirmar que (g(x))^-1=g^-1(x) para todos os valores onde tais funções estão definidas?

Passo 1

O enunciado quer comparar duas notações: de um lado temos (g(x))^-1, que é o inverso multiplicativo de g(x), e de outro g^-1(x), que é a função inversa de g. Vamos precisar das definições de inverso multiplicativo e de função inversa para ver se elas coincidem.

Passo 2

Por definição, o inverso multiplicativo de g(x) é dado por
(g(x))^-1 = 1g(x),
desde que g(x) neq 0. Essa notação não nos diz nada sobre trocar argumentos ou reverter o papel de entrada e saída da função.
g^-1(x) é a função inversa de g; ou seja, é a função que satisfaz
gl(g^-1(x)r) = x e g^-1l(g(x)r) = x
Aqui estamos trocando a variável de entrada e a de saída, não fazendo divisão.

Passo 3

Para que valha (g(x))^-1 = g^-1(x), precisaríamos ter
1g(x) = g^-1(x)
para todo x no domínio. Isso é uma condição muito restrita. Por exemplo, se g(x)=x^2 então (g(x))^-1=1/x^2 mas g^-1(x)=raizx, que são diferentes. A igualdade só ocorre em casos especiais, como quando g(x)=1/x, pois então a própria função é sua inversa e também seu recíproco.

Passo 4

Em resumo, em geral não se pode afirmar que (g(x))^-1 = g^-1(x). São conceitos distintos e só coincidem para funções muito específicas.
Portanto, não é verdade para todos os valores que (g(x))^-1 = g^-1(x); só se igualam em casos particulares (por exemplo g(x)=1/x ou outras funções que sejam simultaneamente seu próprio inverso e recíproco).

Resposta

Não. (g(x))^-1 é o recíproco (1/ g(x)), enquanto g^-1(x) é a função inversa; eles coincidem apenas em casos especiais, não em geral.

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