Sejam f(x)=3 x^2+2 e g(x)=13 x+2, determine as seguintes funções e seus respectivos domínios:
(fg)(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função quociente (f/g)(x) e determinar seu domínio, sendo f(x)=3x^2+2 e g(x)=13x+2. Vamos usar a definição de divisão de funções.

Passo 2

Para dividir as funções, lembramos que $ (f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ desde que (f/g)(x)=f(x)g(x) pertença ao domínio de \f\ e de \g\ e ainda x. O domínio de \f\ é todo g(x)neq0) pois é um polinômio. O domínio de \g\ vem da condição R, ou seja, \x\neq -\tfrac{2}{3}).

Passo 3

Agora calculamos fg)(x)=3x^2+21/(3x+2)=(3x^2+2),(3x+2). Expandindo, obtemos (3x^2+2)(3x+2)=9x^3+6x^2+6x+4 Portanto $ (f/g)(x)=9x3+6x2+6x+4$ e o domínio é a interseção dos domínios de \f\ e \g\ excluindo onde \g(x)=0, isto é, (f/g)(x)=9x^3+6x^2+6x+4

Passo 4

Reunindo resultado e domínio final.

Resposta

$(f/g)(x)=9x3+6x2+6x+4$, domínio: \mathbb{R}\setminus\{-\tfrac{2}{3}\}.

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